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生活数学与智巧趣题 主讲人：吕建国 主讲内容： 奇偶性问题 完全平方数 挑次品 归纳法 枚举法 “抢数”游戏 抽屉原理 公倍数问题 二进制问题 行程问题 钟表问题 时间差问题 比例问题 经济问题 银行利率 剩余定理 例1：奇偶性的应用（1） 某班同学参加学校的数学竞赛，共30道试题.评分标准是：答对一题给3分，答错倒扣1分，不答给1分.请你说明：该班同学得分总和一定是偶数. 分析 每个学生的得分数都是偶数，是解答此题的关键所在.解 对每个学生来说，30道题都答对可得90分，是个偶数.如答错一题，就相差4分，不管答错几题，4的倍数都是偶数，90减去偶数还是偶数.同样，如不答一题，就相差2分，不管不答几题，2的倍数都是偶数，偶数减去偶数还是偶数.因此，每个学生的得分数都是偶数.而偶数的和仍是偶数，故全班同学得分数的总和一定是偶数. 例2：奇偶性的应用（2） 桌上有9只杯子，全部口朝上，每次将其中6只同时“翻转”。请说明：无论经过多少次这样的“翻转”，都不能使9只杯子全部口朝下。 解答：要使一只杯子口朝下，必须经过奇数次“翻转”。要使9只杯子口全朝下，必须经过9个奇数之和次“翻转”。即“翻转”的总次数为奇数。但是，按规定每次翻转6只杯子，无论经过多少次“翻转”，翻转的总次数只能是偶数次。因此无论经过多少次“翻转”，都不能使9只杯子全部口朝下。 例3：完全平方数的应用 少年宫游乐厅悬挂着200个彩色灯泡，这些灯泡或明或暗，十分有趣，这200个灯泡按1—200编号，它们的亮暗规则是：第一秒，全部灯泡变亮；第二秒，凡编号为2的倍数的灯泡由亮变暗；第三秒，凡编号为3的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态，即亮的变暗，暗的变亮；一般地，第秒凡编号为的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态。这样继续下去，每4分钟一个周期。问：第200秒时，明亮的灯泡有多少个？ 解答：某个灯泡，如果他的亮暗变化次数是奇数，那么它是明亮的。根据题意可知，号码为的灯泡，亮暗变化次数等于的约数的个数，若得约数的个数是奇数，则一定是平方数。所以200秒时，那些编号是平方数的灯泡是明亮的。因为200以内有14个平方数，所以200秒时明亮的灯泡有14个。 例4：用归纳法解决数学问题 老师给冬冬布置了12篇作文，规定他每天至少写一篇，最多能写3篇，那么他共有多少种写完作文的方法？ 例5：枚举法解决数学问题 从1到100的自然数中，每次取出两个数，要使它们的和大于100，共有多少种取法？ 提示：用枚举法；此类方法适合于数目、种类不很繁杂的题，且分析时应尽量做到分类全面、不重不漏。 例6：排队报数问题 一个班有40人，站成一排，从左到右一次进行“1、2”报数，报1的人走开，剩下的人继续从左到右依次进行“1、2”报数，如此下去，直到只剩下一个人为止，最后剩下的一个人是哪一个人？ 【点拨】：最后剩下的人所对应的号数应该是含有因数2最多的。即32【解答】：，把全班所有的人从左到右依次编号：1，2，3，4，5，……，40第一次报完，剩下的人，号码是2的倍数。第二次报完，剩下的人，号码是4的倍数。第三次报完，剩下的人，号码是8的倍数。第四次报完，剩下的人，号码是16的倍数。第五次报完，剩下的人，号码是32的倍数。所以最后剩下的那个人是第32号。 例7： “抢30” 游戏 小明与弟弟在玩一种“抢报30”的游戏，从1开始到30，两人轮流报数，每人每次最多报两个数，不能不报，谁先抢到“30”算赢。请问，在他们先报与后报的人中，谁有必胜的策略。 【点拨】：每次能报1个或2个，当对手报1个时，自己就报2个，对手报2个时，自己就报1个，这种方法可以简称为“凑3”【解答】：可以以3个数为一组，对手报的是3个数的一部分，自己报的是最后一部分，因此30÷3=10，没有余数，所以应该让对方先报，后报的人有必胜策略，就是“凑3” 例8：取棋子游戏 一堆棋子共有2002个，甲、乙两人玩轮流取棋子的游戏。甲先取，乙后取，并且规定每次取的棋子不能超过7粒，但不能不取。如果规定取到最后一粒的人为胜者，那么 甲应如何制定策略以取胜？ 例9：挑次品 今有101枚硬币，其中有100枚同样的真币和1枚伪币，伪币与真币和重量不同。现需弄清楚伪币究竟比真币轻，还是比真币重，但只有一架没有砝码的天平。那么怎样利用这架天平称两次，来达到目的？ 解答：分成50、50、1三堆：第一次称两个50，如果平了，第二次从这100个任意拿1个（当然是真的）与第三堆的1个称，自然会出结果；第一次称两个50不平是正常的，第二次我们把其中的一堆（或重的或轻的都行）分成25、25、称第二次：1、把轻的分成25、25，如果平了，说明那堆重的有假，当然假的是超重；如果不平，说明这50个轻的有假，假的是轻了；2、把重的分成25

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