y''+2y=0通解 爱问知识人

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  y''+2y=0通解解：这是一个常系数二阶齐次线性微分方程。令y=e^(rx),则y′=re^(rx); y″=(r^2)e^(rx)。代入原式得： [e^(rx)](r^2+2)=0∵e^(rx)≠0,∴必有r^2+2=0(此即所谓特征方程）故r1=(√2)i; r2=-(√2)i于是原方程的通解为y=C1e^[(√2)x]+C2e^[-(√2)x] 其中C1，C2是由初始条件决定的积分常数。
  为了把结果表为实函数的形式，我们利用尤拉公式：[e^(√2)x+e^(-√2)x]/2=cos[(√2)x][e^(√2)x-e^(-√2)x]/2i=sin[(√2)x]显然，cos[(√2)x]/sin[(√2)x]≠常数，故它们线性无关。
  于是原方程通解的实数形式为：y=C1cos[(√2)x]+C2sin[(√2)x]检验：y′=-(√2)C1sin[(√2)x]+(√2)C2cos[(√2)x]y″=-2C1cos[(√2)x]-2C2sin[(√2)x]代入原式即得y″+2y=0故结论正确！。
  

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