二维动态规划空间优化

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题目描述

常见的动态规划中，如果有两个或者三个可变参数，最终，会生成一张二维或者三维的动态规划表。动态规划的思想就是用空间换取时间，用空间把递归过程中的中间值记录下来，减少时间复杂度。
但是，如果再进一步优化空间呢？是否可以实现呢？当然可以。

二维动态规划空间优化

对于二维动态规划，有两个可变参数，需要画一张二维表，因此，我们就需要申请一个二维数组来存放。那么，二维动态规划的空间优化就是用一维数组就能实现。
话不多说，直接示例加上图：
比如，在一个二维动态规划题目中，最终求解结果是右下角的值，用五角星表示。

然后，在此题中，一般位置的依赖，是上边和左边，图中圆圈表示。

这种动态规划题目的已知条件，必须有左上角的数，如果左上角都不知道，就没法向下递推了。
因此，我们可以申请一个一维数组，只保存第一行。
因为依赖关系是左边和上边，但是第一行就只有左边，因此，就只能依赖左边，因此，我们就可以推出第一行。三角位置是已知的，推出第一行。

有了第一行，就可以推出第二行了，我们动态更新这个一位数组，替换数组中的数值为第二行的，相当于一维数组的复用。
因为第一行已知，那么第二行的第一列的数，因为在边界，所以只能依赖上面的，左边没东西，所以可以推出第二行第一个数，然后更新一维数组第一个数，然后，后面就可以依赖一般的递推规则，从上面和左边依次更新。

这样，就能顺利更新第二行，然后依次同理更新第三行、第四行…直到右下角。

相关问题

何时才能优化？
首先，就是临近的依赖才可以优化。如果依赖的是上面两行的话，就可以申请两个一维数组，然后轮流更新，比如说，根据第一行，更新第二行，然后，根据一二两行，更新第三行，然后，此时第三行替换掉了第一行的数据，此时两个数组中保存的是二三行的数据，然后再更新第四行，替换第二行，就这样交替更新。同理，如果依赖前面三行的数据，就需要三个一维数组，因此，如果依赖过远，这种优化就不合适了。
三维数组如何优化？首先，三维数组其实也是只有临近依赖才可以优化，比如，三维数组是平面嘛，如果上一层依赖下一层，那么，其实就可以只申请一个二维数组，然后，根据下一层更新上一层，把这个二维数组复用。
如果依赖左上角，左边以及上面的数据，此时，如果出现一维数组更新的时候，某些数据还要用到，但是更新下一行的时候会覆盖掉，此时就可以申请一个变量来临时保存。
比如上面的例子，依赖左边，上边以及左上角，当需要更新第二行第二个位置时，此时，左边有，上面有，但是，左上角的数已经被左边替换掉了，因此，可以申请一个变量记录下左上角的数。

网址：二维动态规划空间优化 https://www.yuejiaxmz.com/news/view/566640

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