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来源公众号：北京国际数学研究中心BICMR
链接：今日寒露 | 现代生活中的数学：方程、计算与天气预报
现代生活的特征之一就是处处离不开科技，科技又依赖于数学，在我们司空见惯的生活工具，或者是公共服务的背后可能都有数学算法、方程的支撑。“围绕现代生活中的数学”这一主题，本官微将不定期推出科普小品，与读者一起领略科技和数学的魅力。
方程、计算与天气预报
文 | 马英浩
天气预报给人们生产生活带来极大的便利，已经成为大家生活中不可或缺的部分，但美中不足的是，准确度似乎还有点稍欠火候。相信大家都会有这样的经历——天气预报说是晴天，下午却飘下一点小雨；天气预报说明天有暴雨，第二天一早起来却晴空万里；明明建议穿外套，实际上只穿了短袖。
为什么我们的数学计算可以让卫星精确变轨，可以分析精密仪器，却不能精准预测天气情况，尤其是极端天气呢？影响天气情况的物理因素十分庞杂，这是天气预报迄今为止仍然不能做到非常精确的根本原因。本文主要探讨现代天气预报的一个重要数学基础，就是流体力学里的Navier-Stokes方程，从方程解的角度来理解天气预报准确度的问题。
一、Navier-Stokes方程的精确解与数值解
鉴于任何气象过程都是上述方程在某些初始条件下的一个解，只不过要考虑由各种物理、化学和其他复杂作用因素引入的源项（source term，通常由“合外力”表示），并配合能量守恒的热学过程预测气温。因而如果能求解N-S方程，我们就能很大程度上解决天气预报的问题，准确说出暴雨的具体时间、地点、雨量大小和延续的时间。可惜理想很丰满，现实很骨感，该方程解的存在性和光滑性问题是美国克雷数学研究所提出的七个千禧年大奖难题之一。如果哪位读者解决了这个问题，恐怕除了fields奖章以外还会顺便获得百万美元。
既然无法寻求精确解，人们自然会努力寻求可以接受的数值解。然而从N-S方程的式子不难看出，这是一个非线性的偏微分方程，这意味着初始条件的微小扰动就能够让解（大气流体）随时间的变化产生巨大的差异——这也就是著名的 “蝴蝶效应”。因而，尽管在过去六十多年中，基于N-S方程的数值天气预报方法已经取得了长足的进步并成为主流，但更准确的预报依然需要人们获取更精确的数据，使用更先进快速的算法，进行更精确的计算。可以说，提升算法和计算设备，进行全球云可分辨尺度、局部百米级格距的高分辨的数值天气预报已经成为未来数值天气预报发展的必然。
二、寻求更精确计算的方法
在通过气象站、气象卫星和气象气球等设施设备获得更精确的数据之后，人们需要将连续问题离散化，把预测的区域在时间和空间上划分为网格，利用有限差分、有限体积、有限元等方法处理此类问题。例如世界顶尖的欧洲中长期天气预报中心（European Centre for Medium-Range Weather Forecasts，ECWMF）就是通过半拉格朗日半隐式格式，利用谱方法对空间的离散三维立方网格求解。目前我国气象台采用的算法，网格边长通常在一公里到三公里之间。然而更精细的数据往往需要算力更强大的计算机和可以处理更多数据的算法支撑，否则耗费一周才能算出明天的天气预报，也是徒劳。
在2016年，时任中科院软件所研究员的杨超老师与合作者完成的“千万核可扩展非静力大气动力学全隐式模拟”这一应用成果，荣获高性能计算应用最高奖“戈登•贝尔”奖。这一成果有望推进有关问题的解决，网格分辨率最高可以达到488米，对北纬18°到72°之间上方30千米的大气进行了数值模拟。借助我国的神威太湖之光超级计算机，将此类问题的计算规模推向了新的高度。
尽管高性能计算机的发展为全球范围（降低境外预报不准的影响）百米级别的网格的精确预报提供了实现的可能，但也对大气科学中传统的求解N-S方程的数值算法提出了挑战——例如采用半拉格朗日方法计算平流项，空间离散化采用二阶精度的中央差的时候，会出现格朗日上游点的求解、上游点变量插值造成的守恒性缺失等问题，阻碍了精度的进一步提高。包括中国气象科学研究院数值预报研究中心、北京大学湍流与复杂系统国家重点实验室等单位的科研人员仍在持续努力探讨更新的算法。
在过去的几十年中，中国和很多其他国家一样十分重视相关问题，在气象预报方面投入巨大，大量科研工作人员夜以继日、孜孜不倦的工作，采集更精确的数据，发明更有效的算法，采用更先进的计算机，试图努力解决这一问题。事实上，未来24小时天气预报的准确率和精细化程度逐渐增加就是一个很好的成就，只是大家对日常天气，特别是预报准确的日常天气这种不会打乱生活的事情，通常没有很深刻的印象而已。
三、一类特殊难题“短临问题”的挑战
天气预报中的一类特殊难题是“短临问题”，也就是如何准确预报1-2小时内即将发生的极端天气。随着人工智能的发展，这类问题也在逐步得到更好地解决。在此之前，类似暴雨预报的这种“短临问题”通常由资深预报员根据各类数据和以往经验预报。随着基于卫星和气象站的观测数据量日益增加和日益精细化，人工智能提取信息的能力逐渐体现出优势。例如，2017年深圳气象局和阿里巴巴联合承办的“智慧城市，智慧型国家”CIKM数据科学竞赛，目标是利用雷达回波数据，来进行短时降水预报。2018年，更是携手香港天文台，举办了面向全球参赛者的有关比赛。从比赛结果来看，卷积神经网络（CNN）和循环神经网络（RNN）及其结合对这类的时空预测问题有更良好的效果。
可以预见，天气预报的准确度问题将会长期存在。我国幅员辽阔，多种地形地貌和气候条件并存，自古以来就是气象变化复杂，自然灾害多发的国家，相关的自然影响因素十分复杂，而且还会受到国外自然地理因素、全球冰川融化、海平面上升、甚至其他国家天气预报是否准确等因素的影响。除此以外，跟人类活动密切相关的很多物理因素也可能对天气预报产生显著影响，例如汽车尾气的排放、城市的城镇化水平，凡此种种，不一而足。而大气运动在地表附近可能产生湍流，对湍流的研究是一个非常困难的数学问题。但无论如何，随着人们对N-S方程理解的加深，随着计算机算力、并行计算水平的提升，随着更先进的算法和人工智能的应用，相信在不久的将来，我们的天气预报甚至是极端天气预警，会越来越准确。
参考文献
[1] 《说好的北京降雨“迟到”，该如何看》 (光明日报 8月12日)
[2] 我国数值天气预报模式的发展和挑战 （北京大学工学院讲座）https://www.coe.pku.edu.cn/xzky/jzxx/901301.htm[3] 如果你会解这个方程，今天的航班就不会被取消了 https://zhuanlan.zhihu.com/p/21650138[4] 告别“不靠谱的雪和不正经的风”全靠这个了https://zhuanlan.zhihu.com/p/23906231[5] 为什么外国人预报中国天气能精确到镇 https://www.zhihu.com/question/21416658/answer/18161254
[6] 气象遇见机器学习http://www.meteoai.cn/post/%E6%B0%94%E8%B1%A1%E9%81%87%E8%A7%81%E6%9C%BA%E5%99%A8%E5%AD%A6%E4%B9%A0/
[7] 《中国自然灾害的空间分布特征》 中国地理学报1995年5月
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