两正态总体方差比的置信区间的优化研究

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两正态总体方差比的置信区间的优化研究

蔡洁

河海大学理学院，南京（210098）

E-mail：caijie513@163.com

摘 要：在置信区间端点比值最小的意义下，推导出求解优化置信区间的条件，得到这一区

间实际上也就是 UMAU(一致最准确无偏)置信区间，并证明了优化置信区间的存在唯一性。

对于给定的水平γ=1−α=0.99，求得了样本容量(m-1, n-1)从(4, 5)至(40，40)的范围内的端点值。

关键词：正态总体，方差比，优化置信区间

中图分类号：O212.1

假设检验和区间估计是数理统计学中两个重要的问题，尤其是正态总体参数的估计和检

验，在自然科学和社会科学中有着极为广泛的应用，因此学者们致力于在不同意义下寻找到

它们的最优形式。经典的优化研究有：Neyman-Pearson 的 UMPT(一致最优势检验)和

UMPUT(一致最优势无偏检验)，以及与最优检验相对应的 UMA(一致最准确)置信区间和

UMAU(一致最准确无偏)置信区间；另外，最短置信区间也是很多学者关注的问题，并且有

很多的相关的研究结果(参见文献[2]-[9])。UMAU 置信区间是所有无偏置信区间上最短的，

最短置信区间是使置信区间长度最短，而本文研究的是在置信区间端点的比值最小的意义下

的优化置信区间，并给出了这种置信区间的求解条件，证明了解的唯一性，并给出了置信区

间为 0.95 时具体计算结果。

1. 两正态总体方差比的优化置信区间的推求

假设一随机样本 X

1

,…, X

n

来自于参数为 µ

1

，σ

1

2

的正态总体，另一个随机样本 Y

1

,…,Y

m

来自于参数为 µ

2

，σ

2

2

的正态总体，且两样本相互独立。

令

()

1

1

2

2

1

−−=

∑

=

nXXS

n

i

i

，

)

1

1

2

2

2

−−=

∑

=

mYYS

m

j

i

，众 所 周 知

2

1

2

2

σσ

的置信区

间可以表示为

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

a

SS

b

SS

2

1

2

2

2

1

2

2

,

的形式，且满足：

)1()0(),1,1(),1,1(1)( baanmFbnmFdxxf

b

a

<<−−−−−=−=

∫

α

f (x)

是 F(m-1, n-1)分布的密度函数，F(m-1, n-1, x)是 F(m-1, n-1)的分布函数，1-α是给定的置

信水平。为了使置信区间右端点除以左端点的比值最小，考虑如下带约束的极值问题：

a

b

min

)0(,1),1,1(),1,1()(: baanmFbnmFdxxftosubject

b

a

<<−=−−−−−=

∫

α

定理 1：在上述意义下的优化置信区间中，a, b 的值由如下两个条件确定：

)1()0(),1,1(),1,1(1)( baanmFbnmFdxxf

b

a

<<−−−−−=−=

∫

α

)2()()( bfbafa

⋅

网址：两正态总体方差比的置信区间的优化研究 https://www.yuejiaxmz.com/news/view/266397

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