稳健估计,P范数最小法

发布时间：2024-11-26 10:36

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前言

数据探测和稳健估计均可以探测出粗差，但是数据探测仅仅在数据中仅一个观测量含有粗差时好用，如果想要检验多个粗差，需要逐步剔除已检验粗差，再继续检验。而稳健估计在处理包含有多个粗差时有一定优势。

稳健估计

稳健估计分为三大类：M估计，R估计，L估计，M估计最常用，它是一种广义的极大似然估计，有分为选权迭代法和P范数最小法。

M估计的准则

在这里插入图片描述
其中ρ为M估计的函数，p为权
M估计的稳健性与ρ的选择有关，当ρ=v**2时，即为最小二乘估计，它并不具有抗差性。
选取不同的ρ函数，会得出不同的M估计，因此M估计不是一个估计，而是一类估计。

选权迭代法

流程：
（1）建立数学模型：V=BX-L
（2）按照最小二乘法求解参数估计值及其残差：X=inv(N)*w，V=BX-L
（3）由V求解观测值的等价权矩阵P_，应用抗差最小二乘（P_代替P）进行迭代计算，直到ΔX<=η，η为迭代停止条件
（4）最后计算出X,V,权函数ρ

几种常用的选权迭代法

Huber，Hampel，丹麦法，IGG，一次范数最小法，P范数最小法，相关等价权法。
其中P范数最小法
ρ函数：
在这里插入图片描述
权因子：

python实现

输入数据

import numpy as np np.set_printoptions(suppress=True) # 抑制科学记数法 # B,L,P矩阵 B = np.array([0, 1, 0, -1, 1, 0, -1, 0, -1, 1]).reshape(5, 2) L = np.array([0, -1, 0, 4, 8]) P = np.array([2, 2, 2, 2, 1]) P = np.diag(P) 123456789'

计算X,V

def cal_canshu(B, P, L): N = np.dot(B.T, P).dot(B) W = np.dot(B.T, P).dot(L) inv_N = np.linalg.inv(N) X = inv_N.dot(W) V = B.dot(X) - L return X, V # 由初始权阵计算X,V X, V = cal_canshu(B, P, L) # print(X,V) 12345678910

计算第一次的w

# 选权迭代：P范最小法 m = 1.5 k = 0.0002 yita = 0.000001 # 终止循环条件 yita_array = np.array([yita] * 2) w = [] # 权因子矩阵 for v in V: w_v = (abs(v) ** (2 - m) + k) ** -1 w.append(w_v) P_ = P * w # 更新权阵 # print(P_) 1234567891011121314

计算更新之后X,V

# 计算更新权阵之后的X,V X_, V_ = cal_canshu(B, P_, L) 12

选权迭代

delta = abs(X_ - X) delta[0] = round(delta[0], 7) delta[1] = round(delta[1], 7) # 保留7位小数 while all(delta >= yita_array): # 这里注意如果要比较矩阵大小，需选择all（所有因子）/any（一个及以上）进行比较 w_v = [] for i in V_: w_a = (abs(i) ** (2 - m) + k) ** (-1) w_v.append(w_a) # print(w_v) X = X_ P_ = P_ * w_v # 更新权阵 X_, V_ = cal_canshu(B, P_, L) delta = abs(X_ - X) delta[0] = round(delta[0], 7) delta[1] = round(delta[1], 7) # 保留7位小数

12345678910111213141516