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导数与生活中的优化问题及综合应用必修课件

①当0＜a≤1时，函数f(x)在［1,e］上为增函数, 此时f(x)min=f(1)=a2+1,解 得 ≤a≤1; ②当1＜a≤e时，函数f(x)在(1,a)上为减函数，在(a,e)上为增函数, 此时f(x)min=f(a)=2a,解 得1＜a≤e; ③当a＞e时，函数f(x)在［1,e］上为减函数， 此时f(x)min=f(e)=e+ ，解 得a＞e. 综上,a≥ . 答案: a≥ 【互动探究】在本例题(1)中,若改为“方程只有一个实数根”,其他条件不变,求k的取值范围. 【解析】要使原方程只有一个实数根,只需2-k0或-2-k0,解得k2或k-2,故k的取值范围是(-∞,-2)∪(2,+∞). 【拓展提升】一元三次方程根的个数问题 令f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0). 则f′(x)=3ax2+2bx+c. 方程f′(x)=0的判别式Δ=(2b)2-12ac, (1)Δ≤0即b2≤3ac时,f′(x)≥0恒成立,f(x)在R上为增函数,结合函数f(x)的图象知,方程f(x)=0有唯一一个实根. (2)当Δ0即b23ac时,方程f′(x)=0有两个实根,设为x1,x2(x1x2),函数在x1处取得极大值M,在x2处取得极小值m(Mm). ①当m0时,方程f(x)=0有唯一一个实根; ②当m=0时,方程f(x)=0有两个实根; ③当m0,M0时,方程f(x)=0有三个实根; ④当M=0时,方程f(x)=0有两个实根; ⑤当M0时,方程f(x)=0有一个实根. 【变式备选】(2013·安庆模拟)已知函数f(x)=x3-3ax-1,a≠0. (1)求f(x)的单调区间. (2)若f(x)在x=-1处取得极值,直线y=m与y=f(x)的图象有三个不同的交点,求实数m的取值范围. 【解析】(1)f′(x)=3x2-3a=3(x2-a), 当a0时,对x∈R,有f′(x)0, 故当a0时,f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞), 当a0时,由f′(x)0解得x- 或x ; 由f′(x)0解得- x , 故当a0时,f(x)的单调递增区间为(-∞,- ),( ,+∞); f(x)的单调递减区间为(- , ). (2)因为f(x)在x=-1处取得极值, 所以f′(-1)=3×(-1)2-3a=0,∴a=1. 所以f(x)=x3-3x-1,f′(x)=3x2-3, 由f′(x)=0解得x1=-1,x2=1. 由(1)中f(x)单调性可知,f(x)在x=-1处取得极大值f(-1)=1,在x=1处取得极小值f(1)=-3. 因为直线y=m与函数y=f(x)的图象有三个不同的交点, 结合f(x)的单调性可知,m的取值范围是(-3,1). 【满分指导】导数综合问题的规范解答? 【典例】(13分)(2012·山东高考)已知函数f(x)= (k为常数,e=2.718 28…是自然对数的底数),曲线y=f(x)在点 (1,f(1))处的切线与x轴平行. (1)求k的值. (2)求f(x)的单调区间. (3)设g(x)=(x2+x)f′(x),其中f′(x)为f(x)的导函数，证明： 对任意x＞0，g(x)＜1+e-2. 【思路点拨】 已知条件 条件分析 曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行 得出f′(1)=0即可求出k的值 求出f′(x)及f′(x)=0的根,再判断f′(x)的符号 g(x)=(x2+x)f′(x) 直接求g(x)的最值困难，可对g(x)放缩后，再求最值. 【规范解答】 (1) f′(x)= ………2分 由曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行可知 解得k=1. ………………………………………………4分 (2)f′(x)= x∈(0,+∞)， 令f′(x)=0可得x=1，②………………………………5分 当0x1时， 当x1时， 于是f(x)在区间(0，1)上为增函数；在(1，+∞)上为减函数. ………………………………………………………… 7分 (3)g(x)=(x2+x)f′(x)= x∈(0,+∞)， 因此，对任意x0, ……………………………………………………………8分 令h(x)=1-x-xln x,x∈(0,+∞), 则h′(x)=-ln x-2=-(ln x-ln e-2),x∈(0,+∞), 因此，当x∈(0,e-2)时，h′(x)0,h(x)单调递增； 当x∈(e-2,+∞)时，h′(x)0,h(x)单调递减. 所以h(x)的最大值为h(e-2)=1+e-2

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