《1.4生活中的优化问题举例》同步练习2.doc

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《1.4生活中的优化问题举例》同步练习2

《生活中的优化问题举例》同步练习2 基础巩固强化 1．用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，该长方体的最大体积是________． 2．设有一个容积V一定的有铝合金盖的圆柱形铁桶，已知单位面积铝合金的价格是铁的3倍，问如何设计使总造价最小？ 3．已知某厂生产x件产品的成本为c＝25000＋200x＋eq \f(1,40)x2(元)． (1)要使平均成本最低，应生产多少件产品？ (2)若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？ 4．甲方是一农场，乙方是一工厂．由于乙方生产需占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补其经济损失并获得一定的净收入．在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x(元)与年产量t(吨)满足函数关系式x＝2000eq \r(t).若乙方每生产1吨产品必须赔付甲方s元(以下称s为赔付价格)． (1)将乙方的年利润w(元)表示为年产量t(吨)的函数，并求出使乙方获得最大年利润的年产量； (2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y＝0.002t2(元)，在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s是多少？ 5．某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品，则损失100元．已知该厂制造电子元件过程中，次品率p与日产量x的函数关系是：p＝eq \f(3x,4x＋32)(x∈N＋)． (1)写出该厂的日盈利额T(元)用日产量x(件)表示的函数关系式； (2)为获最大日盈利，该厂的日产量应定为多少件？ 6.如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r，短半轴长为r.计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上．记CD＝2x，梯形面积为S. (1)求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域； (2)求面积S的最大值．答案 基础巩固强化 1． [答案]　3m3 [解析]　设长方体的宽为x，则长为2x，高为eq \f(9,2)－3x　(0x2)，故体积为V＝2x2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)－3x))＝－6x3＋9x2， V′＝－18x2＋18x，令V′＝0得，x＝0或1， ∵0x2，∴x＝1. ∴该长方体的长、宽、高各为2m、1m、1.5m时，体积最大，最大体积Vmax＝3m3. 2． [解析]　设圆柱体的高为h，底面半径为r，又设单位面积铁的造价为m，桶的总造价为y，则y＝3mπr2＋m(πr2＋2πrh)． 由于V＝πr2h，得h＝eq \f(V,πr2)，所以y＝4mπr2＋eq \f(2mV,r)(r0)． 所以y′＝8mπr－eq \f(2mV,r2)， 令y′＝0，得r＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(V,4π)))eq \f(1,3)，此时，h＝eq \f(V,πr2)＝4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(V,4π)))eq \f(1,3). 当r∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(V,4π)))\f(1,3)))时，y′0，当r∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(V,4π)))\f(1,3)，＋∞))时，y′0，因此r＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(V,4π)))eq \f(1,3)是函数y＝4mπr2＋eq \f(2mV,r)(r0)的极小值点，也是最小值点． 故当r＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(V,4π)))eq \f(1,3)时，y有最小值，即hr＝41时，总造价最小． 答：当此铁桶的高与底面半径之比等于41时，总造价最小． 3． [解析]　(1)设平均成本为y元，则 y＝eq \f(25000＋200x＋\f(1,40)x2,x)＝eq \f(25000,x)＋200＋eq \f(x,40)(x0)， y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(25000,x)＋200＋\f(x,40)))′＝－eq \f(25000,x2)＋eq \f(1,40). 令y′＝0，得x1＝1000，x2＝－1000(舍去)． 当在x＝1000附近左侧时，y′0； 在x＝1000附近右侧时，y′0； 故当x＝1000时，y取得极小值． 由于函数只有一个极小值点，那么函数在该点取得最小值，因此要使平均成本最低，应生产1000件产品． (2)利润函数为

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