如图1.在正方形ABCD外侧作直线AP.点B关于直线AP的对称点为E.连接BE.DE.其中DE交直线AP于点F.(1)求证:BF⊥ED,(2)将图1中直线AP绕点A顺时针旋转.使∠PAB=60°.若AB=2.求△BED的面积． 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

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分析 （1）连接AE，先证∠3=∠4，再证∠4=∠5，得出∠3=∠5，然后由∠2+∠3=∠1+∠5=90°，即可得出结论；
（2）连接AE，过E作EG⊥AD，交DA的延长线于G，先求出BE，得出△ABE的面积；再求出EG，得出△ADE的面积；△BED的面积=△ADE的面积+△ABE的面积+△ABD的面积，即可得出结果．

解答 （1）证明：连接AE，如图1所示：
∵点B关于直线AP的对称点为E，
∴EF=BF，AE=AB，
∴△AEF和△ABF关于直线AP对称，
∴∠3=∠4，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴AE=AD，∠1+∠5=90°，
∴∠4=∠5，
∴∠3=∠5，
∵∠1=∠2，
∴∠2+∠3=∠1+∠5=90°，
∴∠BFD=90°，
∴BF⊥ED；
（2）解：连接AE，过E作EG⊥AD，交DA的延长线于G，如图2所示：
∵∠PAB=60°，AB=2，
∴PA=12" role="presentation">12AB=1，PB=3" role="presentation">3，
∴BE=2PB=23" role="presentation">3，
∴△ABE的面积=12" role="presentation">12×23" role="presentation">3×1=3" role="presentation">3，
∵∠EAP=∠PAB=60°，
∴∠EAG=60°+60°-90°=30°，
∴EG=12" role="presentation">12AE=12" role="presentation">12AB=1，
∴△ADE的面积=12" role="presentation">12×2×1═1，
又∵△ABD的面积=12" role="presentation">12×2×2=2，
∴△BED的面积=△ADE的面积+△ABE的面积+△ABD的面积=1+3" role="presentation">3+2=3+3" role="presentation">3．

点评 本题考查了正方形的性质、轴对称的性质、旋转的性质以及等腰三角形的判定与性质、面积的计算方法；熟练掌握正方形和轴对称的性质得出等腰三角形，进一步得出角之间的关系是解决问题的关键．

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