认识生活中的泊松分布

发布时间：2024-11-11 18:10

● 每周一言

有些人推动生活走，有些人则被生活推着走。

导语

公交地铁站根据每天客流量的变化安排班次，银行根据每天的排号人数决定开放柜台数，包子粥铺根据每天卖出多少碗粥和多少个包子来充分备货……这一类常见的生活问题都和泊松分布息息相关。

那么，如何直观理解泊松分布？

泊松分布

要讲泊松分布，得先讲讲二项分布，因为泊松分布是二项分布的极限形式，是由二项分布的公式取极限推导而来。

二项分布，顾名思义，就是取值结果只有正负两种的分布，用数学语言描述就是关于n个独立的正负实验中成功次数的离散概率分布。

二项分布最典型的实验是抛硬币实验，抛n次硬币，有k次正面朝上的概率是多少？假设正面朝上的概率是p，根据排列组合，从n次中挑选出k次正面朝上，n-k次翻面朝上，发生的概率P为：

P=Cnk×pk×(1−p)n−k" role="presentation">P=Cnk×pk×(1−p)n−k

这个便是二项分布公式，二项分布公式的数学期望μ = np。

这个时候大家可能发现了，要计算发生k次的概率，在二项分布中必须事先知道一个全局的n才行。然而，在前文提到的实际生活问题中，我们很难或者无法预先知道对应的n是多少。

比如潜在乘坐公交车的乘客总数，潜在需要去银行办业务的客户总数，以及潜在包子粥铺顾客总数等。这里有一个前提假设，每一类人对相应事件的参与概率相同且互不影响，即独立同概率假设。

人数n未知，难道就没有办法求这个概率P了吗？聪明的小伙伴应该已经联想到了取n的极限来求解P。没错，这个取极限求解P正是泊松分布的推导过程。

P=limn→∞Cnk×pk×(1−p)n−k" role="presentation">P=limn→∞Cnk×pk×(1−p)n−k

可知，上式中只剩下p是未知的，根据二项公式的数学期望μ = np，我们知道p= μ / n，带入上式并推导计算P的极限得：

P=limn→∞Cnk×(μn)k×(1−μn)n−kP=limn→∞n(n−1)(n−2)...(n−k+1)k!μknk(1−μn)n−kP=limn→∞μkk!n(n−1)...(n−k+1)nk(1−μn)−k(1−μn)n" role="presentation">P=limn→∞Cnk×(μn)k×(1−μn)n−kP=limn→∞n(n−1)(n−2)...(n−k+1)k!μknk(1−μn)n−kP=limn→∞μkk!n(n−1)...(n−k+1)nk(1−μn)−k(1−μn)n

将上式各个部分拆开来计算，根据指数e的极限求法，我们能得到：

limn→∞n(n−1)...(n−k+1)nk(1−μn)−k=1limn→∞(1−μn)n=e−μ" role="presentation">limn→∞n(n−1)...(n−k+1)nk(1−μn)−k=1limn→∞(1−μn)n=e−μ

将上式带入极限求解，P的极限最终变成了只和k、μ相关的式子，即泊松分布公式。

Pk=limn→∞Cnk×pk×(1−p)n−k=μkk!e−μ" role="presentation">Pk=limn→∞Cnk×pk×(1−p)n−k=μkk!e−μ

有了泊松分布公式，已知均值μ，我们不需要知道总数n，就能求得k值对应的概率是多少。