“n次方程有n个根”的证明

Word新建页面，Ctrl + N #生活技巧# #数码产品使用技巧# #办公软件快捷键#

27 Feb

By 苏剑林 | 2010-02-27 | 70584位读者 |

代数基本定理：任何一个一元复系数多项式都至少有一个复数根。也就是说，复数域是代数封闭的。

虽说这有其名，但却无其实，它并不是最基本的代数定理；因为在那个时候，代数基本上就是关于解实系数或复系数多项式方程，所以才被命名为代数基本定理(Fundamental theorem of algebra)。

建立在此前提上，我们可以推出：

一元复系数n次代数方程在复数范围内都有n个根（有可能是共轨复根）。

其中用到了数学归纳法以及多项式的“除法”，证明如下：
已知一元一次方程有1个根，一元n次方程至少有1个根。假设(n-1)次方程有(n-1)个根，求证n次方程有n个根。

设函数f(x)=a0+a1x1+...+anxn
我们求一下：f(x)x−x1，其中x1是预先给定的常数。运算的过程可以类似于我们做数字的除法：

多项式除法计算过程

最终，我们的结果为：
f(x)=a0+a1x1+...+anxn=(x−x1)[anxn−1+(an−1+anx1)xn−2+...+(a1+a2x1+...+anxn−11)]+a0+a1x11+...+anxn1

令x1是方程a0+a1x1+...+anxn=0的一个根，于是
a0+a1x1+...+anxn=(x−x1)[anxn−1+(an−1+anx1)xn−2+...+(a1+a2x1+...+anxn−11)]

那么满足anxn−1+(an−1+anx1)xn−2+...+(a1+a2x1+...+anxn−11)=0的解也是方程的f(x)=0的根，这方程有(n-1)个根，加上x=x1，那么f(x)=0总共有n个根。

证毕。

转载到请包括本文地址：https://www.spaces.ac.cn/archives/481

更详细的转载事宜请参考：《科学空间FAQ》

如果您还有什么疑惑或建议，欢迎在下方评论区继续讨论。

如果您觉得本文还不错，欢迎分享/打赏本文。打赏并非要从中获得收益，而是希望知道科学空间获得了多少读者的真心关注。当然，如果你无视它，也不会影响你的阅读。再次表示欢迎和感谢！

如果您需要引用本文，请参考：

苏剑林. (Feb. 27, 2010). 《“n次方程有n个根”的证明 》[Blog post]. Retrieved from https://www.spaces.ac.cn/archives/481

@online{kexuefm-481,
        title={“n次方程有n个根”的证明},
        author={苏剑林},
        year={2010},
        month={Feb},
        url={\url{https://www.spaces.ac.cn/archives/481}},
}

网址：“n次方程有n个根”的证明 https://www.yuejiaxmz.com/news/view/361326

相关内容

数学∞∑n=1（n的2次方/3的n次方）的敛散性 爱问知识人
如何判断一个数是否为2的N次方
五的N次方怎么使用日程管理 QQ飞车怎么过n弯道的捷径
用数学归纳法证明一个人无论怎样努力都不可能成为富翁,错在哪了?证明过程如下：用n表示你拥有的钱数（单位：元）如果你只有n=1,显然你不可能是富翁,假设你有n=k时,你不是一个富翁,当你
【若数列{an}满足a1=1,且a(n+1)=4an+2的n次方,求an的通项公式急·······】
已知f（n）公式如下：f（1）=f（2）=1，当n=1，2；f（n）=f（n
家居DIY：沙发旧物改造 一个沙发的N次“重生”
设等差数列{a n }的前n项和为S n ，若a 1 =
已知数列{an}的前n项和Sn满足S(n+1)=4an+3,a1=1,设cn=an/(2^n),求数列{cn}的前n项和Tn要完整过程哦!
设变量已正确定义,则以下能正确计算 f=n! ( n 的阶乘)的程序段是( )。

随便看看