指数函数及其展开式孰大孰小？

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在x>0时，指数函数f(x)=ex" role="presentation">f(x)=ex与幂函数hn(x)=1+x+x22!+x33!+...+xnn!" role="presentation">hn(x)=1+x+x22!+x33!+...+xnn!孰大孰小？

对于已经学习了微积分的朋友来说，这道题目是很简单的，甚至f(x)>hn(x)" role="presentation">f(x)>hn(x)可以说是“显然成立的”（因为ex" role="presentation">ex展开式接下来的无穷项都是正数）。但是，这道题目出在了2012年的广州一模理科数学中，就显得不那么简单了，得用初等的方法来证明它。而笔者最近养成了一个习惯，拿到一张数学试卷，不是先做选择题，而是先做最后一题。所以在参加广州一模时，先花了半个小时把最后一题（即本题）解决了。下面是我想到的三种解法。

一、数学归纳法

这是官方的答案所采用的方法，也是BoJone写在答题卡上的方法（没想到碰到一块了）。

首先用函数的方法（求导）证明ex>1+x" role="presentation">ex>1+x作为归纳的基础（这其实也是第一小题）。然后假设n=k时成立，即gk(x)=f(x)−hk(x)>0" role="presentation">gk(x)=f(x)−hk(x)>0，读者能够发现一个很有趣的事，那就是gk+1(x)" role="presentation">gk+1(x)的导函数gk+1′(x)=gk(x)" role="presentation">gk+1′(x)=gk(x)，于是有gk+1′(x)=gk(x)>0" role="presentation">gk+1′(x)=gk(x)>0，即在假设条件下，gk+1(x)" role="presentation">gk+1(x)在(0,+∞)" role="presentation">(0,+∞)是增函数，于是gk+1(x)>gk+1(0)=0" role="presentation">gk+1(x)>gk+1(0)=0，于是就证明了n=k+1时也成立。

这的确是一种不错的方法。数学归纳法在这些“应试教育题目”本来就很难有机会出现，现在能够在压轴题上运用到，这不能不让人兴奋！我希望能够看到更多的数学归纳法、反证法之类的题目（更希望它出现在高考，呵呵）

二、作商求导

然而上面的方法却不是我第一时间想到的方法，我首先想到的方法是两者作商，然后求导。可惜当时没有坚持下去，因为事后才发现这当属最简单的方法了。首先设函数：

gn(x)=hn(x)f(x)=e−x+xe−x+12!x2e−x+...1n!xne−x" role="presentation">gn(x)=hn(x)f(x)=e−x+xe−x+12!x2e−x+...1n!xne−x

你猜一下求导后会发生什么？
(1n!xne−x)′=1(n−1)!xn−1e−x−1n!xne−x" role="presentation">(1n!xne−x)′=1(n−1)!xn−1e−x−1n!xne−x

这完全就是所谓的“裂项相消”了！你会发现，把所有的导数项都累加起来后，得到：

gn′(x)=−1n!xne−x" role="presentation">gn′(x)=−1n!xne−x

这显然是一个负数！于是gn(x)" role="presentation">gn(x)在(0,&#x221E;)" role="presentation">(0,∞)上是单调递减的，于是gn(x)&lt;gn(0)=1" role="presentation">gn(x)<gn(0)=1。这等价于f(x)&gt;hn(x)" role="presentation">f(x)>hn(x)。

这是最直接的方法了（我的了解）。数学归纳法固然巧妙，只是它的程序实在太多，写在答题卡上不方便。不过按照纯数学欣赏来说，两者都同样让人叫绝！因为它们都很美！

三、不断积分

这个方法对于一般高中生来说也许不怎么好理解，而对于我来说它几乎是显然的。当然，这个方法应该不适合在答卷上用，但是科学空间里的文章本来就不是为了应试的，我们是为了欣赏数学的美！

首先我们得知道要是一个函数f(x)恒大于0，那么就会有&#x222B;0af(x)dx&gt;0" role="presentation">∫0af(x)dx>0，从定积分的定义来看这是很容易理解的。

应用到这道题目上，先有ex&gt;1" role="presentation">ex>1，考虑积分&#x222B;0x(et&#x2212;1)dt&gt;0" role="presentation">∫0x(et−1)dt>0，得到ex&#x2212;x&#x2212;1&gt;0" role="presentation">ex−x−1>0，继续考虑积分&#x222B;0x(et&#x2212;1&#x2212;t)dt&gt;0" role="presentation">∫0x(et−1−t)dt>0，得到ex&#x2212;1&#x2212;x&#x2212;12x2&gt;0" role="presentation">ex−1−x−12x2>0；不断进行下去即可。这里其实是偷用了泰勒级数的一个推导而已。这也属于归纳（递推）的方法吧。

这次广州一模出现了这类题目，反映了两个问题：一、数学压轴题很多是高等数学初等化；二、数学归纳法等思想日益得到重视。要是真的是这样的话，BoJone会感到很高兴，事实上我讨厌那类高强度的计算的题目，那对我们的思维促进毫无意义，只有那些有难度、思想新颖可是题目本身又容易看懂的题目才是真正的好题目！

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        author={苏剑林},
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