均值不等式的两个巧妙证明

床头两侧各一盏灯，保证两侧都能均匀照明。 #生活知识# #家居生活# #卧室布置建议# #照明布局技巧#

记得几年前，BoJone提供过一个证明均值不等式（代数—几何平均不等式）的方法，但是其中的证明有点长，有点让人眼花缭乱的感觉（虽然里边的思想还是挺简单的）。昨天在上《数学分析》课程的时候，老师讲到了这个不等式，也讲了他的证明，用的是数学归纳法，感觉还是没有那种简洁美和巧妙美。但这让我回想起了之前我研究过的两种巧妙证明方法，可是在昨天划了一整天，都没有把这两种方法回忆起来。直到今天才回想起来，所以就放在这里与大家分享，同时也作备忘之用。

对于若干个非负数xi" role="presentation">xi，我们有

x1+x2+...+xnn≥x1x2...xnn" role="presentation">x1+x2+...+xnn≥x1x2...xnn

记为An≥Gn" role="presentation">An≥Gn

证明1：数学归纳法
这个方法不算简单，但是非常巧妙，它从n递推到n+1的过程让人拍案叫绝。用数学归纳法证明詹森不等式也是同样的递推思路，而均值不等式不过是詹森不等式的一个特例而已。

假设An≥Gn" role="presentation">An≥Gn成立，要证An+1≥Gn+1" role="presentation">An+1≥Gn+1。我们有

2nAn+1=(n+1)An+1+(n−1)An+1=[x1+x2+...+xn]+[xn+1+(n−1)An+1]≥nGn+n(xn+1⋅An+1n−1)1n≥2n(Gn+1n+1⋅An+1n−1)12n" role="presentation">2nAn+1=(n+1)An+1+(n−1)An+1=[x1+x2+...+xn]+[xn+1+(n−1)An+1]≥nGn+n(xn+1⋅An+1n−1)1n≥2n(Gn+1n+1⋅An+1n−1)12n

化简即得：An+1≥Gn+1" role="presentation">An+1≥Gn+1

这就完成了从n到n+1的递推。其他细节略。

证明2：对数方法

这个方法更巧妙，更简单，有可能是我见过的最简单方法了。它利用的一个很简单的公式是对于所有非负数x，有ex≥1+x" role="presentation">ex≥1+x，并且当x≥−1" role="presentation">x≥−1时，两边都是非负数。

（为了方便排版，记exp(x)=ex" role="presentation">exp(x)=ex）

exp⁡(nAnGn−n)=exp⁡(x1Gn−1)⋅exp⁡(x2Gn−1)…exp⁡(xnGn−1)≥x1Gn⋅x2Gn...xnGn(前面的各项指数部分显然都大于等于-1)=1" role="presentation">exp⁡(nAnGn−n)=exp⁡(x1Gn−1)⋅exp⁡(x2Gn−1)…exp⁡(xnGn−1)≥x1Gn⋅x2Gn...xnGn(前面的各项指数部分显然都大于等于-1)=1

也就是说

exp⁡(nAnGn−n)≥1" role="presentation">exp⁡(nAnGn−n)≥1

稍稍化简就有An≥Gn" role="presentation">An≥Gn

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        title={均值不等式的两个巧妙证明},
        author={苏剑林},
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