一道级数求和证明题(非数学归纳法)

定期做数学题型归纳，提高解题速度 #生活技巧# #学习技巧# #解题技巧训练#

今天在数学研发论坛看到了一道题目：

∑j=0j=n(jxj)=nxn+2−(n+1)xn+1+x/(x−1)2" role="presentation">∑j=0j=n(jxj)=nxn+2−(n+1)xn+1+x/(x−1)2

这道题实际是求x+2x2+3x3+...+nxn" role="presentation">x+2x2+3x3+...+nxn的求和公式而已。

本来呢用数学归纳法是十分简单的（数学归纳法对于证明简单，对于推导就不行了），但是题目说不能用数学归纳法。只好用以下方法了。

我们把它改写成：

x(1+2x+3x2+...+nxn−1)⇒x[1+x+x2+...+xn−1+x(1+x+x2+...+xn−2)+...+xn−1]⇒x[xn−1+x(xn−1−1)+x2(xn−2−1)+...+xn−1(x−1)/x−1]⇒x[nxn−(1+x+x2+...+xn−1)/x−1]⇒x[nxn−xn−1/x−1/x−1]" role="presentation">x(1+2x+3x2+...+nxn−1)⇒x[1+x+x2+...+xn−1+x(1+x+x2+...+xn−2)+...+xn−1]⇒x[xn−1+x(xn−1−1)+x2(xn−2−1)+...+xn−1(x−1)/x−1]⇒x[nxn−(1+x+x2+...+xn−1)/x−1]⇒x[nxn−xn−1/x−1/x−1]

$\Rightarrow x[{nx^{n+1}-(n+1)x^n+1}/{(x-1)^2}]

剩下来的就不写了。不用说了吧？

转载到请包括本文地址：https://spaces.ac.cn/archives/49

更详细的转载事宜请参考：《科学空间FAQ》

如果您还有什么疑惑或建议，欢迎在下方评论区继续讨论。

如果您觉得本文还不错，欢迎分享/打赏本文。打赏并非要从中获得收益，而是希望知道科学空间获得了多少读者的真心关注。当然，如果你无视它，也不会影响你的阅读。再次表示欢迎和感谢！

如果您需要引用本文，请参考：

苏剑林. (Aug. 02, 2009). 《一道级数求和证明题(非数学归纳法) 》[Blog post]. Retrieved from https://spaces.ac.cn/archives/49

@online{kexuefm-49,
        title={一道级数求和证明题(非数学归纳法)},
        author={苏剑林},
        year={2009},
        month={Aug},
        url={\url{https://spaces.ac.cn/archives/49}},
}

网址：一道级数求和证明题(非数学归纳法) https://www.yuejiaxmz.com/news/view/361814

相关内容

数学归纳法用归纳法证明(1+x)的n次方>1+nxn=2, 爱问知识人
用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝
数列求和数列的通项是n的4次方，求其前n项和，不用数学归纳法 爱问知识人
如何渗透数学思想和数学方法
数据分析的 5 种归纳方法
数学问题！高中数学=初等数学吗！？ 爱问知识人
学霸笔记 小学数学六年级下 小学数学重点知识归纳讲解课前预习课后联系课堂助理课后辅导 13.9元
知乎热议：科学网发布文章称「我国数学家证明 NP=P」，会带来怎样的影响?
四年级上册数学课外生活习题
让数学更贴近生活——小学数学解决问题策略

随便看看