x^2/3+y^2/2+z^2/2=1,求x+y+z的取值范围

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主要内容：

通过柯西不等式、换元法及构造多元函数法，介绍x+y+z在满足给定条件x^2/3+y^2/2+z^2/2=1下的取值范围。

主要公式：

1.柯西不等式:(a^2+b^2)(c^2+d^2)≥(ac+bd)^2.

2.sin(a+b)=sinacosb+cosasinb.

柯西不等式法:

∵(x^2/3+y^2/2+z^2/2)*(3+2+2)

≥(x+y+z)^2，

∴1*(3+2+2)≥(x+y+z)^2。

即：-√7≤x+y+z≤√7。

所以所求代数式的取值范围为：

换元法：

根据已知条件x^2/3+y^2/2+z^2/2=1，设

x=√3sinasinb,

y=√2sinacosb，

z=√2cosa，此时有：

x+y+z

=(√3sinb+√2cosb)sina+√2cosa；

则|x+y+z|≤√[(√3sinb+√2cosb)^2+2]，

=√(3+2+2)= √7，

即：-√7≤x+y+z≤√7。

所以所求代数式的取值范围为：[-√7,√7]。

多元函数法：

设F(x,y,z)=x+y+z-λ(x^2/3+y^2/2+z^2/2-1),

分别对x,y,z,λ求偏导数，得：

Fx=1-2λx/3,Fy=1-2λy/2,Fz=1-2λz/2,

Fλ=x^2/3+y^2/2+z^2/2-1。

令Fx=Fy=Fz= Fλ=0,则：

x=3/2λ,y=2/2λ,z=2/2λ

代入到Fλ=0方程中，则：

3/4λ^2+2/4λ^2+2/4λ^2=1,

解得：2λ=±√7.

此时代入，得：

x+y+z的最大值

=(3+2+2)/2λ

网址：x^2/3+y^2/2+z^2/2=1,求x+y+z的取值范围 https://www.yuejiaxmz.com/news/view/429787

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