已知数列{an}的各项均为正数，bn=n（11n）nan（n∈N? 爱问知识人

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  （1）解：f（x）的定义域为（-∞， ∞），f′（x）=1-ex．
当f′（x）＞0，即x＜0时，f（x）单调递增；
当f′（x）＜0，即x＞0时，f（x）单调递减．
故f（x）的单调递增区间为（-∞，0），单调递减区间为（0， ∞）．
当x＞0时，f（x）＜f（0）=0，即1 x＜ex．
令x=1n，得1 1n＜e1n，即(1 1n)n＜e．①
（2）解：b1a1=1•(1 11)1=1 1=2；b1b2a1a2=b1a1•b2a2=2•2(1 12)2=(2 1)2=32；
b1b2b3a1a2a3=b1b2a1a2•b3a3=32•3(1 13)3=(3 1)3=43．
由此推测：b1b2…bna1a2…an=（n 1）n．②
下面用数学归纳法证明②．
（1）当n=1时，左边=右边=2，②成立．
（2）假设当n=k时，②成立，即b1b2…bka1a2…ak=(k 1)k．
当n=k 1时，bk 1=(k 1)(1 1k 1)k 1ak 1，由归纳假设可得
b1b2…bkbk 1a1a2…akak 1=b1b2…bka1a2…ak•bk 1ak 1=(k 1)k(k 1)(1 1k 1)k 1=(k 2)k 1．
∴当n=k 1时，②也成立．
根据（1）（2），可知②对一切正整数n都成立．
（3）证明：由cn的定义，②，算术-几何平均不等式，bn的定义及①得
Tn=c1 c2 … cn=(a1)11 (a1a2)12 (a1a2a3)13 … (a1a2…an)1n
=(b1)112 (b1b2)123 (b1b2b3)134 … (b1b2…bn)1nn 1
≤b11×2 b1 b22×3 b1 b2 b33×4 … b1 b2 … bnn(n 1)
=b1[11×2 12×3 … 1n(n 1)] b2[12×3 13×4 … 1n(n 1)] … bn•1n(n 1)
=b1(1-1n) b2(12-1n 1) … bn(1n-1n 1)
＜b11 b22 … bnn=(1 11)1a1 (1 12)2a2 … (1 1n)nan
＜ea1 ea2 … ean=eSn．
即Tn＜eSn．。
  

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