在生产中.为了节约原材料.加工某些零件时常利用一些边角余料.如图.△ABC为锐角三角形废料．基中BC＝12cm.BC边上的高AD＝8cm.在△ABC上截取矩形PQMN.使QM与BC边重合.试说明P.Q两点落在什么位置时.才可使它的面积S最大?最大值是多少?此时矩形的长和宽又各是多少? 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

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在生产中，为了节约原材料，加工某些零件时常利用一些边角余料，如图，△ABC为锐角三角形废料．基中BC＝12cm，BC边上的高AD＝8cm，在△ABC上截取矩形PQMN，使QM与BC边重合，试说明P，Q两点落在什么位置时，才可使它的面积S最大？最大值是多少？此时矩形的长和宽又各是多少？

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答案：
解析：

　　[答案]如图，设PN交AD于E．PQ长为x(cm)，PN长为y cm．矩形的面积为S(cm2)．则AE＝(8－x)cm，

　　∵PN∥BC．∴∠APN＝∠ABC．

　　又∠PAN＝∠BAC，∴△APN∽△ABC．∴＝，

　　即＝．∴y＝(8－x)．

　　∴S＝PN·PQ＝xy＝(8－x)x＝－x2＋12x(0＜x＜8)．

　　即S＝－(x－4)2＋24．

　　∴当x＝4时，S有最大值24，此时y＝×(8－4)＝6cm．

　　此时＝＝＝＝，即P是AB的中点，Q是BD的中点．

　　故当P，Q分别为AB，BD的中点时，才可使矩形PQMN的面积最大，最大面积为24cm2，此时矩形的长为6cm，宽为4cm．

　　[剖析]先用字母x表示线段PQ的长，再运用相似三角形的性质，得到PN与x的函数关系式，从而用x的代数式表示PN的长，由此建立S与x之间的函数关系式，并用二次函数的相关知识解决问题，本题也可设AE长为x，同学们不妨试一试，并比较两种解决方式谁更优．

提示：

　　[方法提炼]

　　用x表示某一个量后，再运用相似形的性质或解直角三角形的知识或其他知识沟通其他量与x的关系，从而建立二次函数关系式表示实际问题，并运用二次函数的相关知识解决问题．

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（1）求年产量y（万只）与改造经费x（万元）之间的函数解析式．（不要求写出x的取值范围）
（2）已知每生产1万只开关所需要的材料费是8万元．除材料费外，今年在生产中，全年还需支付出2万元的固定费用．
①求平均每只开关所需的生产费用为多少元？（用含y的代数式表示）
（生产费用=固定费用+材料费）
②如果将每只开关的销售价定位“平均每只开关的生产费用的1.5倍”与“平均每只开关所占改造费用的一半”之和，那么今年生产的开关正好销完．问今年需投入多少改造经费，才能使今年的销售利润为9.5万元？
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（2）已知每生产1万只开关所需要的材料费是8万元．除材料费外，今年在生产中，全年还需支付出2万元的固定费用．
①求平均每只开关所需的生产费用为多少元？（用含y的代数式表示）
（生产费用=固定费用+材料费）
②如果将每只开关的销售价定位“平均每只开关的生产费用的1.5倍”与“平均每只开关所占改造费用的一半”之和，那么今年生产的开关正好销完．问今年需投入多少改造经费，才能使今年的销售利润为9.5万元？
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