动态规划算法的优化技巧（转贴）

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[摘要]
动态规划是信息学竞赛中一种常用的程序设计方法，本文着重讨论了运用动态规划思想解题时时间效率的优化。全文分为四个部分，首先讨论了动态规划时间效率优化的可行性和必要性，接着给出了动态规划时间复杂度的决定因素，然后分别阐述了对各个决定因素的优化方法，最后总结全文。

[正文]
一、引言
动态规划是一种重要的程序设计方法，在信息学竞赛中具有广泛的应用。
使用动态规划方法解题，对于不少问题具有空间耗费大、时间效率高的特点，因此人们在研究动态规划解题时更多的注意空间复杂度的优化，运用各种技巧将空间需求控制在软硬件可以承受的范围之内。但是，也有一部分问题在使用动态规划思想解题时，时间效率并不能满足要求，而且算法仍然存在优化的余地，这时，就需要考虑时间效率的优化。
本文讨论的是在确定使用动态规划思想解题的情况下，对原有的动态规划解法的优化，以求降低算法的时间复杂度，使其能够适用于更大的规模。

二、动态规划时间复杂度的分析
使用动态规划方法解题，对于不少问题之所以具有较高的时间效率，关键在于它减少了“冗余”。所谓“冗余”，就是指不必要的计算或重复计算部分，算法的冗余程度是决定算法效率的关键。动态规划在将问题规模不断缩小的同时，记录已经求解过的子问题的解，充分利用求解结果，避免了反复求解同一子问题的现象，从而减少了冗余。
但是，动态规划求解问题时，仍然存在冗余。它主要包括：求解无用的子问题，对结果无意义的引用等等。
下面给出动态规划时间复杂度的决定因素：
时间复杂度=状态总数*每个状态转移的状态数*每次状态转移的时间[1]
下文就将分别讨论对这三个因素的优化。这里需要指出的是：这三者之间不是相互独立的，而是相互联系，矛盾而统一的。有时，实现了某个因素的优化，另外两个因素也随之得到了优化；有时，实现某个因素的优化却要以增大另一因素为代价。因此，这就要求我们在优化时，坚持“全局观”，实现三者的平衡。

三、动态规划时间效率的优化

3.1 减少状态总数

我们知道，动态规划的求解过程实际上就是计算所有状态值的过程，因此状态的规模直接影响到算法的时间效率。所以，减少状态总数是动态规划优化的重要部分，本节将讨论减少状态总数的一些方法。

1、改进状态表示

状态的规模与状态表示的方法密切相关，通过改进状态表示减小状态总数是应用较为普遍的一种方法。
例一、 Raucous Rockers 演唱组（USACO`96）
[问题描述]
现有n首由Raucous Rockers 演唱组录制的珍贵的歌曲，计划从中选择一些歌曲来发行m张唱片，每张唱片至多包含t分钟的音乐，唱片中的歌曲不能重叠。按下面的标准进行选择：
（1） 这组唱片中的歌曲必须按照它们创作的顺序排序；
（2） 包含歌曲的总数尽可能多。
输入n，m，t，和n首歌曲的长度，它们按照创作顺序排序，没有一首歌超出一张唱片的长度，而且不可能将所有歌曲的放在唱片中。输出所能包含的最多的歌曲数目。
（1≤n, m, t≤20）
[算法分析]
本题要求唱片中的歌曲必须按照它们创作顺序排序，这就满足了动态规划的无后效性要求，启发我们采用动态规划进行解题。
分析可知，该问题具有最优子结构性质，即：设最优录制方案中第i首歌录制的位置是从第j张唱片的第k分钟开始的，那么前j-1张唱片和第j张唱片的前k-1分钟是前1..i-1首歌的最优录制方案，也就是说，问题的最优解包含了子问题的最优解。
设n首歌曲按照写作顺序排序后的长度为long[1..n]，则动态规划的状态表示描述为：
g[i, j, k]，0≤i≤n，0≤j≤m，0≤k<t，表示前i首歌曲，用j张唱片另加k分钟来录制，最多可以录制的歌曲数目，则问题的最优解为g[n,m,0]。由于歌曲i有发行和不发行两种情况，而且还要分另加的k分钟是否能录制歌曲i。这样我们可以得到如下的状态转移方程和边界条件：
当k≥long[i]，i≥1时：
g[i, j, k]=max{g[i-1,j,k-long[i]]，g[i-1,j,k]}
当k<long[i]，i≥1时：
g[i, j, k]=max{g[i-1,j-1,t-long[i]]，g[i-1,j,k]}
规划的边界条件为：
当0≤k<t时：g[0,0,k]=0;
我们来分析上述算法的时间复杂度，上述算法的状态总数为O(n*m*t)，每个状态转移的状态数为O(1)，每次状态转移的时间为O(1)，所以总的时间复杂度为O(n*m*t)。由于n，m，t均不超过20，所以可以满足要求。
[算法优化]
当数据规模较大时，上述算法就无法满足要求，我们来考虑通过改进状态表示提高算法的时间效率。
本题的最优目标是用给定长度的若干张唱片录制尽可能多的歌曲，这实际上等价于在录制给定数量的歌曲时尽可能少地使用唱片。所谓“尽可能少地使用唱片”，就是指使用的完整的唱片数尽可能少，或是在使用的完整的唱片数相同的情况下，另加的分钟数尽可能少。分析可知，在这样的最优目标之下，该问题同样具有最优子结构性质，即：设D在前i首歌中选取j首歌录制的最少唱片使用方案，那么若其中选取了第i首歌，则D-{i}是在前i-1首歌中选取j-1首歌录制的最少唱片使用方案，否则D前i-1首歌中选取j首歌录制的最少唱片使用方案，同样，问题的最优解包含了子问题的最优解。
改进的状态表示描述为：
g[i, j]=(a, b)，0≤i≤n，0≤j≤i，0≤a≤m，0≤b≤t，表示在前i首歌曲中选取j首录制所需的最少唱片为：a张唱片另加b分钟。由于第i首歌分为发行和不发行两种情况，这样我们可以得到如下的状态转移方程和边界条件：
g[i, j]=min{g[i-1,j]，g[i-1,j-1]+long[i]} 
其中(a, b)+long[i]=(a’, b’)的计算方法为：
当long[i]≤t-b时： a’=a;     b’=b+long[i];
当long[i]>t-b时： a’=a+1;   b’=long[i];
规划的边界条件：
g[i,0]=(0,0)  0≤i≤n
这样题目所求的最大值是：ans=max{k| g[n, k]≤(m-1,t)}
改进后的算法，状态总数为O(n2)，每个状态转移的状态数为O(1)，每次状态转移的时间为O(1)，所以总的时间复杂度为O(n2)。值得注意的是，算法的空间复杂度也由改进前的O(m*n*t)降至优化后的O(n2)。
（程序及优化前后的运行结果比较见附件）
通过对本题的优化，我们认识到：应用不同的状态表示方法设计出的动态规划算法的性能也迥然不同。改进状态表示可以减少状态总数，进而降低算法的时间复杂度。在降低算法的时间复杂度的同时，也降低了算法的空间复杂度。因此，减少状态总数在动态规划的优化中占有重要的地位。

2、选择适当的规划方向

    动态规划方法的实现中，规划方向的选择主要有两种：顺推和逆推。在有些情况下，选取不同的规划方向，程序的时间效率也有所不同。一般地，若初始状态确定，目标状态不确定，则应考虑采用顺推，反之，若目标状态确定，而初始状态不确定，就应该考虑采用逆推。那么，若是初始状态和目标状态都已确定，一般情况下顺推和逆推都可以选用，但是，能否考虑选用双向规划呢？
双向搜索的方法已为大家所熟知，它的主要思想是：在状态空间十分庞大，而初始状态和目标状态又都已确定的情况下，由于扩展的状态量是指数级增长的，于是为了减少状态的规模，分别从初始状态和目标状态两个方向进行扩展，并在两者的交汇处得到问题的解。
上述优化思想能否也应用到动态规划之中呢？来看下面这个例子。
例二、 Divide (Merc`2000)
[问题描述]
有价值分别为1..6的大理石各a[1..6]块，现要将它们分成两部分，使得两部分价值和相等，问是否可以实现。其中大理石的总数不超过20000。(英文试题详见附件)
[算法分析]
令S=∑(i*a[i])，若S为奇数，则不可能实现，否则令Mid=S/2，则问题转化为能否从给定的大理石中选取部分大理石，使其价值和为Mid。
这实际上是母函数问题，用动态规划求解也是等价的。
m[i, j]，0≤i≤6，0≤j≤Mid，表示能否从价值为1..i的大理石中选出部分大理石，使其价值和为j，若能，则用true表示

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