陪集例三次对称群S3={e,1,2,3,4,5}所有非平

陪集
例:三次对称群S3={e,1, 2, 3, 4, 5}的所有非平凡子群是:
H1={e, 1}; H2={e, 2}; H3={e, 3}; H4={e, 4, 5}。其中H4就是三次交代群A3。现在考察H1的陪集。
e H1=1H1=H1; 2H1=5H1={2, 5}
3H1=4H1={3, 4};H1e =H11=H
H12=H14={2, 4};H13=H15={3, 5}
显然2H1H12, 5H1H15, 3H1H13, 4H1H14
这说明左、右陪集一般不等。
:如果HG是子群,那么任一gG所构成的陪集|gH|=|H|, |Hg|=|H|。
分析:证明基数相等的一种方法是证明两个集合之间存在双射.
证明:定义映射:HHg,
(h)=hg
利用群消去律证明是一对一的.
而满射是显然的,因为对任意的hgHg, 有(h)=hg.
:H为G的子群,g1,g2G,两个右陪集Hg1与Hg2,则: 或Hg1=Hg2,或Hg1∩Hg2=。
证明:利用等价类的性质.
例:设[H;]是群[G;]的子群,则
(1)若baH,则bH=aH
(2)若bHa,则Hb=Ha
由等价类的概念和性质即得.
三、拉格朗日定理
定理:G是群,H是G的子群,则H在G中的左陪集数与右陪集数相等.
证明:设S和T分别为G的关于H的所有右和左陪集的集合。现在要证明的是|S|=|T|。考虑证明存在S→T的双射。
:H为G的子群,关于H的所有不同的左(右)陪集数叫做H在G中的指数。
[E;+]是[Z;+]的子群,E在Z中指数?
:G为有限群,H为其子群, 则H的阶可以整除G的阶,其相除的商就是H在G中的指数k。
例:设a为有限群[G;*]的元素,则a的阶整除|G|。
:G为有限群,阶为素数p,则[G;*]是循环群。
四、正规子群
:H为群G的子群,当对任意的gG,gH=Hg,称H为G的正规子群,也可称为不变子群。
例:任意Abel群的子群都是正规子群。
三次对称群S3={e,1, 2, 3, 4, 5}的所有非平凡子群是: H1={e, 1}; H2={e, 2}; H3={e, 3}; H4={e, 4, 5}。其中只有H4是正规子群
(1)H为正规子群,则应对G中每个元素g都有Hg=gH
(2)正规子群的前提要求是H为子群。
(3)Hg=gH是表示两个集合相等,并不意味着hg=gh,完全有可能Hg=gH,但hggh。
(4)Hg=gH是指,对任意hH,总存在h'H ,使得hg=gh'。
:H是G的子群, 它又是正规的, 当且仅当,对任gG,hH,有g-1hgH。
设G={(x; y)|x,yR,x 0}, 在G上定义二元运算如下:
(x, y)●(z,w)=(xz, xw+y) 对任意(x,y),(z,w) G。H={(1,y)|yR}
证明(H; ●)是群(G;●) 的正规子群。

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