非线性方程迭代求根

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数值分析编程作业1

非线性方程根的迭代求解常用方法无外乎三种：

编程实现

对于该问题的MATLAB实现如下：

%迭代函数的实现 function xc = unlinear_iterSolve( x0, tol ,option) %不动点迭代法和牛顿迭代法的实现 %其中g为构造的迭代函数，x0为初始的迭代点，tol为判断迭代收敛的阈值 %option参数1表示为不动点迭代，2表示为牛顿迭代 x_previous = x0; itr_cnt = 1; %记录迭代次数 error = 0; %记录每次迭代的误差,初始迭代误差记为0 disp('NO.ITER ITER_VALUE ITER_ERROR') while 1 switch(option) case{1} %求方程1的新的不动点迭代值 x_next = f1_sp(x_previous); case{2} %求方程2的新的不动点迭代值 x_next = f2_sp(x_previous); case{3} %求方程1的新的牛顿迭代值 x_next = f1_n(x_previous); case{4} %求方程2的新的牛顿迭代值 x_next = f2_n(x_previous); end if(itr_cnt ~= 1) %第一次迭代不用进行收敛判断 error = abs(x_next - x_previous); %记录每次迭代的误差 %if(error < tol || itr_cnt >100) if(error < tol || itr_cnt > 25) %当误差小于设定的阈值时，判定为收敛，退出循环 display(itr_cnt, x_next, error);%打印出最后一次迭代得到的不动点信息 break end end x_previous = x_next;%将该次迭代得到的迭代值保存到x_previous中去 display(itr_cnt, x_next, error);%打印迭代的数值信息 itr_cnt = itr_cnt + 1; %每次迭代完成后将迭代次数加1 end xc = x_previous; end function result1 = f1_sp(x) % x^2 - 3*x + 2 - exp(1)^x = 0的不动点迭代函数 result1 = 1/3*(x^2+2-exp(1)^x); end function result3 = f1_n(x) % x^2 - 3*x + 2 - exp(1)^x = 0的牛顿迭代函数 result3 = x - (x^2 - 3*x + 2 - exp(1)^x)*(2*x - exp(1)^x*log(exp(1)) - 3)^(-1); end function result2 = f2_sp(x) % x^3 + 2*x^2 + 10*x - 20 = 0的不动点迭代函数 %四种不同的构造的不动点迭代函数 %result2 = x^3 + 2*x^2 + 11*x - 20; %result2 = (-2*x^2 - 10*x + 20)^(1/3); %result2 = 1/10 * (20 - 2*x^2 - x^3); result2 = 1/2 * (20 - x^3 -10*x)^(1/2); end function result4 = f2_n(x) % x^3 + 2*x^2 + 10*x - 20 = 0的牛顿迭代函数 result4 = x - (x^3 + 2*x^2 + 10*x - 20)*(3*x^2 + 4*x + 10)^(-1); end function display(itr, x_next, error) %打印每次迭代信息的函数 if(itr < 10) disp([' ',num2str(itr), ' ', ... sprintf('%0.13f',x_next),' ',sprintf('%0.9f',error)]) else disp([' ',num2str(itr), ' ', ... sprintf('%0.13f',x_next),' ',sprintf('%0.9f',error)]) end end 12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243444546474849505152535455565758596061626364656667686970

测试代码：

%Homework 1 x0_1 = 1; tol = 10^-8; disp('Fixed Point Iteration for x^2 - 3*x + 2 - exp(1)^x = 0'); x1 = unlinear_iterSolve(x0_1,tol,1); disp('Newton Iteration for x^2 - 3*x + 2 - exp(1)^x = 0'); x3 = unlinear_iterSolve(x0_1,tol,3); disp('Fixed Point Iteration for x^3 + 2*x^2 + 10*x - 20 = 0'); x2 = unlinear_iterSolve(x0_1,tol,2); disp('Newton Iteration for x^3 + 2*x^2 + 10*x - 20 = 0'); x4 = unlinear_iterSolve(x0_1,tol,4); 1234567891011

实验结果：

初始点的值取1