选修2

小户型装修建议2: 选择多功能家具，如折叠桌和带储物功能的床 #生活技巧# #家居装修建议# #小户型装修建议#

生活中的优化问题举例
1． 问题导航
(1)生活中经常遇到的优化问题主要包括哪些问题？
(2)解决一些生活中的优化问题的基本思路是什么？
(3)求解优化问题的方法有何中的最值问题
(1)圆柱形金属饮料罐的表面积为定值
S，要使它的容积最大，它的高
h 与底面半
径 R 的比应为 ________．
[解析 ] 因为 S＝ 2πRh＋ 2πR2，所以 h＝
S－ 2πR2
，
2πR
所以 V(R)＝
S－ 2πR2
πR2，
2πR
1
1
＝
2(S－ 2πR2)R＝ 2SR－πR3.
由 V′(R)＝ 12S－ 3πR2＝ 0，得 S＝ 6πR2，所以当 S＝ 6πR2 时，容积最大，
此时 6πR2＝ 2πRh＋ 2πR2.
即 h∶R＝ 2∶ 1.
[答案]2∶1
(2)请你设计一个包装盒．如图所示， ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影
部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A， B，C， D 四个点重合于
图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E， F 两点在AB 上，是被切去的一个
等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝ FB＝ x(cm)．
①某广告商要求包装盒的侧面积 S(cm2)最大，试问 x 应取何值？②某厂商要求包装盒的容积 V(cm3) 最大，试问 x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底
面边长的比值．
[解 ] 设包装盒的高为
h(cm) ，底面边长为 a(cm) ．由已知得， a＝
2x，h＝
60－ 2x
＝ 2
2
(30－x) ，0<x<30.
S＝ 4ah＝ 8x(30－ x)＝－ 8(x－ 15)2＋ 1 800，
所以当 x＝ 15 时， S 取得最大值．
V＝ a2h＝ 2 2(－ x3＋ 30x2)， V′＝6 2x(20－ x)．
由 V′＝ 0，得 x＝ 0(舍去 ) 或 x＝ 20.
当 x∈ (0，20)时， V′>0；当 x∈ (20，30)时， V′<0.
所以当 x＝ 20 时， V 取得极大值，也是最大值．
h
1
1
此时 a＝
2，即包装盒的高与底面边长的比值为
2.
解决面积、 体积的最值问题，要正确引入变量，将面积或体积表示为变量的函数，
结合
实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值．
1．(1)如图所示， 等腰梯形ABCD 的三边 AB，BC，CD 分别与函数y＝－ 1x2＋ 2，x∈ [ －
2
解： 设梯形 ABCD 的面积为S，点 P 的坐标为t，－ 12t2＋ 2 (0< t≤ 2)．由题意得，点Q
1
2
＋ 2，所以 y′＝－ x，所以 y′|x＝t＝－ t，
的坐标为 (0，2)，直线 BC 的方程为 y＝ y＝－ 2x
1
2＋ 2 ＝－ t(x－ t)，
所以直线 AB 的方程为 y－ － t
2
即 y＝－ tx＋1t 2＋ 2，令 y＝ 0，得 x＝ t2＋ 4，所以 A t2＋4， 0 .
22t2t
1
1
令 y＝ 2，得 x＝ 2t，所以 B
2t， 2 ，
所以 S＝1× 1
t2＋ 4
× 2×2＝ 2t＋ 4， S′＝2－
42，
2t
2
2t＋
t
t
令 S′＝ 0，得 t ＝
t＝
2时， S 有最小值为 4 2.
所以梯形 ABCD 的面积的最小值为 4 2.
(2)从长为
32 cm，宽为 20 cm 的矩形薄铁皮的四角剪去四个相等的正方形，
做一个无盖
的箱子，问剪去的正方形边长为多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？
解：设剪去的正方形的边长为
x cm，则箱子的容积 V( x)＝ x(32－2x)(20－ 2x)＝ 4x3－ 104x2
640x， (0<x<10)
V′(x)＝ 12x2－ 208x＋ 640
4(3x

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