三种方法求y=(7x^2+1)/(2x^2+1)的值域

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三种方法求y=(7x^2+1)/(2x^2+1)的值域。

主要内容：

本文通过常数分离法、反解法、判别式法和导数法，介绍求解分式函数y=(7x^2+1)/(2x^2+1)的值域的主要步骤。

思路一：常数分解法

∵y=(7x^2+1)/(2x^2+1)，

∴y=[7/2(2x^2+1)-5/2]/(2x^2+1),

=7/2-5/2/(2x^2+1).

又x^2≥0，则：

2x^2+1≥1，可知0<1/(2x^2+1)≤1,

即：0<5/2/(2x^2+1)≤5/2.

所以:1≤y=7/2-5/2/(2x^2+1)＜7/2.

故函数的值域为[1,7/2）。

思路二：反解法

∵y=(7x^2+1)/(2x^2+1)，

∴x^2=(1-y)/(2y-7)≥0，则不等式等同于：

(y-1)(2y-7)≤0，且2y≠7，

解不等式得：1≤y＜7/2，

故函数的值域为[1,7/2）。

思路三：判别式法

∵y=(7x^2+1)/(2x^2+1)

∴y(2x^2+1)=(7x^2+1)，

(2y-7)x^2+y-1=0,看成x的二次方程，

判别式△=0-4(2y-7)(y-1)≥0，即：

(2y-7)(y-1)≤0，且2y-7≠0.

解得：1≤y＜7/2，

故函数的值域为[1,7/2）。

思路四：导数法

∵y=(7x^2+1)/(2x^2+1)

∴y'=[14x(2x^2+1)-4x(7x^2+1)]/(2x^2+1)^2

=2x[7(2x^2+1)-2(7x^2+1)]/(2x^2+1)^2

=2*5x/(2x^2+1)^2.

令y'=0,则x=0，

当x＞0时，y'＞0；当x＜0时，y'＜0，

则当x=0时，函数y取到最小值，

y(0)=1,

ymax=lim(x→+∞)(7x^2+1)/(2x^2+1)

=7/2。

所以函数的值域为：[1,7/2）。

网址：三种方法求y=(7x^2+1)/(2x^2+1)的值域 https://www.yuejiaxmz.com/news/view/552093

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