高数学精选课件大全：生活中的优化问题举例湘教版选修11

发布时间：2024-12-25 08:50

利用生活实例教学：将数学问题融入日常生活中，让孩子理解数学的实际应用。 #生活技巧# #生活小妙招# #亲子教育小常识# #学习习惯养成#

1、3.4 生活中的优化问题举例生活中的优化问题举例（一）（一）例例1:海报版面尺寸的设计海报版面尺寸的设计学校或班级举行活动，学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣通常需要张贴海报进行宣传现让你设计一张如图传现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为要求版心面积为 ,上上、下两边各空、下两边各空2dm左、左、右两边各空右两边各空1dm.如何设计如何设计海报的尺寸，才能使四周海报的尺寸，才能使四周空白的面积最小？空白的面积最小？21（一）面积、容积最值问题（一）面积、容积最值问题x则有则有xy=128，（），（）另设四周空白面积为，另设四周空白面积为，则xy2当当x (0,8)时时,S(x)0. 函数函数S (x)在在x=8处取得极小值处取得极小值,这个极小值就这个极小值就是函数是函数S (x)的最小值的最小值.解法二解法二：由解法由解法(一一)得得变式训练变式训练1:某养鸡场是一面靠墙某养鸡场是一面靠墙,三面用铁丝网围成的矩形场三面用铁丝网围成的矩形场地地.如果铁丝网长如果铁丝网长40 m,问靠墙的一面多长时问靠墙的一面多长时,围成的场地面围成的

2、场地面积最大积最大?y=-x+20 令令y=0得得,x=20当当0x0,当当20x40时时,y0;当当x (40,60)时时,V(x)0它表示它表示 f(r) 单调递增，单调递增，即半径越大，利润越高；即半径越大，利润越高；当半径当半径r时，时，f (r)0 它表示它表示 f(r) 单调递减单调递减，即半径越大，利润越低即半径越大，利润越低1.半径为半径为cm 时，利润最小，这时时，利润最小，这时表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值此时利润是负值.半径为半径为cm时，利润最大时，利润最大.注注: :如果不用导数工具如果不用导数工具, ,直接从函数的图象上观直接从函数的图象上观察察, ,你有什么发现？你有什么发现？230ry变式训练变式训练3:已知某工厂生产已知某工厂生产x件产品的成本为件产品的成本为c=2 500+200x+x2(元元).(1)要使平均成本最低要使平均成本最低,应生产多少件产品应生产多少件产品?(2)若产品以每件若产品以每件500元售出元售出,要使利润最大要使利润最大,应生产多少件产品应生产多少件产品?名师名

3、师1号号P27 变式变式3答答:生产生产100件产品时件产品时,平均成本最低为平均成本最低为250元元.1 1、实际问题中的应用、实际问题中的应用. . 在日常生活、生产和科研中在日常生活、生产和科研中,常常会遇到求函数的常常会遇到求函数的最大最大(小小)值的问题值的问题.建立目标函数建立目标函数,然后利用导数的方法然后利用导数的方法求最值是求解这类问题常见的解题思路求最值是求解这类问题常见的解题思路. 在建立目标函数时在建立目标函数时,一定要注意确定函数的一定要注意确定函数的定义域定义域. 在实际问题中在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个有时会遇到函数在区间内只有一个点使点使的情形的情形,如果函数在这个点有极大如果函数在这个点有极大(小小)值值,那么不与端点值比较那么不与端点值比较,也可以知道这就是最大也可以知道这就是最大(小小)值值.这里所说的也适用于开区间或无穷区间这里所说的也适用于开区间或无穷区间.满足上述情况的函数我们称之为满足上述情况的函数我们称之为“单峰函数单峰函数”.3、求最大（最小）值应用题的一般方法、求最大（最小）值应用题的一般方法(1)分析实际问题中各量

4、之间的关系，把实际问题化为分析实际问题中各量之间的关系，把实际问题化为数学问题，建立函数关系式，这是关键一步。数学问题，建立函数关系式，这是关键一步。(2)确定函数定义域，并求出极值点。确定函数定义域，并求出极值点。(3)比较各极值与定义域端点函数的大小，比较各极值与定义域端点函数的大小，结合实结合实际，确定最值或最值点。际，确定最值或最值点。2、实际应用问题的表现形式，常常不是、实际应用问题的表现形式，常常不是以纯数学模式反映出来。以纯数学模式反映出来。首先，通过审题，认识问题的背景，抽象出问题的实质。首先，通过审题，认识问题的背景，抽象出问题的实质。其次，建立相应的数学模型其次，建立相应的数学模型, 将应用问题转化为数学问题将应用问题转化为数学问题,再解。再解。优化问题优化问题用函数表示数学问题用函数表示数学问题用导数解决数学问题用导数解决数学问题优化问题的答案优化问题的答案建立数学模型建立数学模型解决数学模型解决数学模型作答作答利用导数解决优化问题的基本思路利用导数解决优化问题的基本思路：作业作业: P37 A: P37 A组组 1 1、2 2、3 3、5 5、典例剖析典例剖析

5、 (学生用学生用书P65)题型一型一利利润问题【例例1】某商品每件成本某商品每件成本9元元,售价售价为30元元,每星期每星期卖出出432件件,如果降低价格如果降低价格,销售量将会增加售量将会增加,且每星期多且每星期多卖出的商品件出的商品件数与商品数与商品单价的降低价的降低值x(单位位:元元,0x30)的平方成正比的平方成正比,已已知商品知商品单价降低价降低2元元时,一星期将多一星期将多卖出出24件件.(1)将一个星期的商品将一个星期的商品销售利售利润表示成表示成x的函数的函数;(2)如何定价才能使一个星期的商品如何定价才能使一个星期的商品销售利售利润最大最大?3.4 生活中的优化问题举例（二）生活中的优化问题举例（二）解解 (1)设商品降价商品降价x元元,则多多卖出的商品件数出的商品件数为kx2,若若记商品商品一个星期的一个星期的获利利为f(x),则依依题意有意有f(x)=(30-x-9)(432+kx2) =(21-x)(432+kx2).又由已知条件又由已知条件,24=k22,于是有于是有k=6. f(x)=-6x3+126x2-432x+9072,x 0,30.(2)根据根

6、据(1)有有f(x)=-18x2+252x-432=-18(x-2)(x-12).当当x变化化时,f(x),f(x)的的变化情况如下表化情况如下表:x0,2)2(2,12)12(12,30f(x)-0+0-f(x) 极小极小值极大极大值故故x=12时,f(x)达到极大达到极大值, f(0)=9072,f(12)=11664, 定价定价为30-12=18(元元)能使一个星期的商品能使一个星期的商品销售利售利润最大最大.答案答案:D题型二型二用料用料问题【例例2】 (2009湖南高考湖南高考)某地建一座某地建一座桥,两端的两端的桥墩已建好墩已建好,这两墩相距两墩相距m米米,余下工程只需建两端余下工程只需建两端桥墩之墩之间的的桥面和面和桥墩墩.经测算算,一个一个桥墩的工程墩的工程费用用为256万元万元;距离距离为x米的相米的相邻两墩之两墩之间的的桥面工程面工程费用用为万元万元.假假设桥墩等墩等距离分布距离分布,所有所有桥墩都墩都视为点点,且不考且不考虑其他因素其他因素,记余下工余下工程的程的费用用为y万元万元.(1)试写出写出y关于关于x的函数关系式的函数关系式;(2)当当m=640

7、米米时,需新建多少个需新建多少个桥墩才能使墩才能使y最小最小?【变式式训练2】要要设计一个容一个容积为V的有盖的有盖圆柱形柱形储油罐油罐,已已知知侧面面积的的单位面位面积造价是底面造价是底面积造价的一半造价的一半;而而储油罐油罐盖的盖的单位面位面积造价又是造价又是侧面面积造价的一半造价的一半,问储油罐的半径油罐的半径r和高和高h之比之比为何何值时造价最省造价最省?分析分析把把圆柱的高用底面半径柱的高用底面半径r表示出来表示出来,然后把造价表示然后把造价表示为r的函数的函数.题型三型三成本成本问题【例例3】甲甲乙两地相距乙两地相距400千米千米,一汽一汽车从甲地匀速行从甲地匀速行驶到乙到乙地地,速度不得超速度不得超过100千米千米/时.已知已知该汽汽车每小每小时的运的运输成本成本t(元元)关于速度关于速度x(千米千米/时)的函数关系式是的函数关系式是 (1)当汽当汽车以以60千米千米/时的速度匀速行的速度匀速行驶时,全程运全程运输成本成本为多多少元少元?(2)为使全程运使全程运输成本最少成本最少,汽汽车应以多少速度行以多少速度行驶?并求出此并求出此时运运输成本的最小成本的最小值. 分析分析根据全程运输成本根据全程运输成本=每小时运输成本每小时运输成本运输总时间建运输总时间建立函数关系式立函数关系式,然后利用导数方法求最值然后利用导数方法求最值.答答:汽汽车以以60千米千米/小小时的速度匀速行的速度匀速行驶时,全程运全程运输成本成本为1 500元元.【变式式训练3】某某单位用位用2160万元万元购得一得一块空地空地,计划在划在该块地上建造一地上建造一栋至少至少10层,每每层2000平方米的楼房平方米的楼房,经测算算,如果将楼房建如果将楼房建为x(x10)层,则每平方米的平均建筑每平方米的平均建筑费用用为560+48x(单位位:元元).为了使楼房每平方米的平均了使楼房每平方米的平均综合合费用最用最少少,该楼房楼房应建建为多少多少层?(注注:平均平均综合合费用用=平均建筑平均建筑费用用+平均平均购地地费用用,平均平均购地地费用用答答:为了楼房每平方米的了楼房每平方米的综合合费用最少用最少,该楼房楼房应建建为15层.

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