原码、反码、补码总结

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基础概念

机器数：
机器数为数值在计算机中的二进制表示形式。机器数是带符号的，计算机中用二进制数的最高位存放符号, 正数为0, 负数为1.
eg:十进制的+1，在计算机中为0000 0001。
十进制的-1，在计算机中为1000 0001。

真值
我们知道，机器数包括符号位和数据位（最高位是符号位）。因此这就使得机器数与单纯的二进制存在差别，比如，a=10000001，如果把a单纯的用二进制表示，它的十进制值是129；如果把a当成机器数来表示，它的十进制值是-1。真值就是机器数对应的值，在这里a的真值为-1。
原码
是最符合人思维的计数。最高位为符号位，其他位为数据位的数值。以8位二进制为例:
[+1]原 = 0000 0001
[-1]原 = 1000 0001
8位二进制数的取值范围为:
[11111111,01111111]========>[-127,127]
反码
正数的反码=原码；负数的反码=原码的符号位不变，其余各个位取反。
[+1] = [00000001]原 = [00000001]反
[-1] = [10000001]原 = [11111110]反
由 [-1] = [10000001]原 = [11111110]反 可以发现，负数的反码不便于计算，还需要转换成原码。
补码
正数的补码=原码；负数的补码=原码符号位不变, 其余各位取反, 最后+1. (即在反码的基础上+1)
[+1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]补
[-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]补
由 [-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]补 可以发现，负数的补码也不便于人脑计算，也需要转换成原码。

原码、反码、补码运算

上述我们已经知道，一个数的描述方法有三种:原码、反码、补码。
其中假设a是正数，那么可知
[a]原=[a]反=[a]补
假设a是负数，那么可知
[a]原码=a的符号位不变，其余各个位取反=原码符号位不变, 其余各位取反, 最后+1.
换算举例:
[+1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]补
所以不需要过多解释. 但是对于负数:
[-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]补
可见负数的原码, 反码和补码是完全不同的.
既然原码是便于人脑直接识别并用于计算的表示方式,那 为何还会有反码和补码呢?
首先, 因为人脑可以知道第一位是符号位, 在计算的时候我们会根据符号位, 选择对真值区域的加减. . 但是对于计算机, 加减乘数已经是最基础的运算, 要设计的尽量简单. 计算机辨别”符号位”显然会让计算机的基础电路设计变得十分复杂! 于是人们想出了将符号位也参与运算的方法. 我们知道, 根据运算法则减去一个正数等于加上一个负数, 即: 1-1 = 1 + (-1) = 0 , 所以机器可以只有加法而没有减法, 这样计算机运算的设计就更简单了.

于是人们开始探索 将符号位参与运算, 并且只保留加法的方法. 首先来看原码。计算十进制的表达式: 1-1=0

1 - 1 = 1 + (-1) = [00000001]原 + [10000001]原 = [10000010]原 = -2

如果用原码表示, 让符号位也参与计算, 显然对于减法来说, 结果是不正确的.这也就是为何计算机内部不使用原码表示一个数.

为了解决原码做减法的问题, 出现了反码。计算十进制的表达式:

1-1=0

1 - 1 = 1 + (-1)
= [0000 0001]原 + [1000 0001]原
= [0000 0001]反 + [1111 1110]反
= [1111 1111]反 = [1000 0000]原
= -0

发现用反码计算减法, 结果的真值部分是正确的. 而唯一的问题其实就出现在”0”这个特殊的数值上. 虽然人们理解上+0和-0是一样的, 但是0带符号是没有任何意义的. 而且会有[0000 0000]原和[1000 0000]原两个编码表示0.

于是补码的出现, 解决了0的符号以及两个编码的问题:

1-1 = 1 + (-1)
= [0000 0001]原 + [1000 0001]原
= [0000 0001]补 + [1111 1111]补
= [0000 0000]补=[0000 0000]原

这样0用[0000 0000]表示, 而以前出现问题的-0则不存在了.而且可以用[1000 0000]表示-128:

(-1) + (-127) = [1000 0001]原 + [1111 1111]原
= [1111 1111]补 + [1000 0001]补
= [1000 0000]补

-1-127的结果应该是-128, 在用补码运算的结果中, [1000 0000]补 就是-128. 但是注意因为实际上是使用以前的-0的补码来表示-128, 所以-128并没有原码和反码表示.(对-128的补码表示[1000 0000]补算出来的原码是[0000 0000]原, 这是不正确的)

使用补码, 不仅仅修复了0的符号以及存在两个编码的问题, 而且还能够多表示一个最低数. 这就是为什么8位二进制, 使用原码或反码表示的范围为[-127, +127], 而使用补码表示的范围为[-128, 127].

因为机器使用补码, 所以对于编程中常用到的32位int类型, 可以表示范围是: [-231, 231-1] 因为第一位表示的是符号位.而使用补码表示时又可以多保存一个最小值.

参考连接:
https://blog.csdn.net/u011080472/article/details/51280919#大数溢出问题
http://www.cnblogs.com/zhangziqiu/

网址：原码、反码、补码总结 https://www.yuejiaxmz.com/news/view/568941

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