生活中的优化问题举例(1).doc

发布时间:2025-01-05 23:54

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文档简介

3.4 生活中的优化问题举例()一、教学目标(一)知识目标通过生活中优化问题的学习,学会利用导数求解有关实际问题的最值 (二)能力目标通过解决实际问题,学会将实际问题转化为数学问题的方法.(三)情感目标体会导数在解决实际问题中的作用,培养学生的数学应用意识,以及学生对数学的兴趣.二、教学重点数学建模,利用导数求函数最值的方法解决有关生活中的优化问题.三、教学难点如何把实际问题转化成抽象的数学问题.解有关函数最大值、最小值的实际问题,需要分析问题中各个变量之间的关系,找出适当的函数关系式,并确定函数的定义区间;所得结果要符合问题的实际意义.四、教学过程(一)引入课题这一章我们学习了导数的一些知识,这些知识可以用来解决在日常生活、生产和科研中遇到的一些实际问题. 在经济生活中,人们经常遇到最优化问题.例如,为使经营利润最大、生产效率最高,或为使用力最省、用料最少、消耗最省等等,需要寻求相应的最佳方案或最佳策略,这些都是最优化问题.导数是解决这类问题的基本方法之一.这节课,我们就来看一下,运用我们学过的知识,怎么样来解决,诸如此类的实际问题.(二)传授新知导数在解决实际生活中的有关最大(小)值问题,一般应先建立目标函数,建立好目标函数后,则问题转化为“导数在函数中的应用”的内容,解题中应注意实际意义.(三)讲解例题例1 有一边长为的正方形铁片,铁片的四角截去四个边长为的小正方形,然后做成一个无盖方盒(图3-30).(1) 试把方盒的容积V表示成的函数;(2) 求多大时,做成方盒的容积V最大.分析:(1)方盒的高就是截去的小正方形的边长,方盒底面是边长为的正方形,方盒的容积V就是底面积乘以高. (2)要做成一个无盖方盒,方盒的高必须满足,可对求导来求函数在内的极大值. (3)函数在区间只有一个零点.在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使=0的情形,如果函数在这点有极大(小)值,那么不与端点值比较,也可以知道这就是最大(小)值.例2 如图3-31,某种罐装饮料设计每罐容积为250 ,罐的形状为圆柱体,圆柱侧面的厚度为0.5mm,上下底厚度为1.0 mm,如何设计罐体才能使原材料用量最少?做一个罐至少要用多少立方厘米的原材料?分析:设圆柱体的高为cm,底面半径为cm本题应求出圆柱的侧面积和上下底面积之和,才能求出需要的原材料体积V(x)=cm(x0)引申1:某种圆柱形饮料罐的容积一定,且上、下两底的厚度是侧壁部分厚度的2倍,当圆柱的高与底面半径之比为何值时,用料最省?解:设圆柱体的高为,底面半径为,容积为V,上、下两底的厚度是2k, 侧壁部分厚度是k,(k0)则,所以,圆柱的侧面积.上下底面积之和.需要的原材料体积为:V(x)=. =在上有唯一的零点,也就是最小值点.又,.即当时用料最省.引申2:圆柱形金属饮料罐的容积一定时,它的高与底半径应怎样选取(如图),才能使所用材料最省?解:设圆柱的高为h,底半径为R,则表面积S=2Rh+2R2.V=R2h,h=.S=S(R)=2R+2R2=2R2S=S(R)=+4R.令+4R=0,即4R32V=0.解得R=即h=2R当0R时,S时,S0.S(R)在R=处有极小值,且S极小值=6因为S(R)只有一个极值,所以它是最小值.答:当罐的高与底直径相等时,所用材料最省.例3 让一个木块从光滑斜面的上端自由滑落到下端.给定斜面两端的水平距离为,如何选择斜面和水平面之间的角度,才能使从上端到下端滑落所用的时间最短? 分析:本题用到了物理学的有关知识以及力的合成与分解、解直角三角形、应用导数求最大值等知识,综合应用的知识较多,还可以应用三角函数公式,将时间化简为,所以当时所用时间最短.(四)技能训练课本P133练习答案:设截去的正方形边长为cm,则底面矩形的长为(8-2x)cm, 宽为(5-2x)cmV=x(8-2x)(5-2x)=.(),令=0得或(舍去).因为在只有一个极值点,故时=18.所以截去的正方形边长为1cm时,纸匣的容积最大。(五)课堂小结这节课通过对生活中优化问题的学习,体会导数在解决实际问题中的作用.在解决实际问题时,要认真分析问题中各个变量之间的关系,找出适当的函数关系式.确定函数的定义区间,用数学知识求得最大、最小值,所得结果要符合问题的实际意义.如果在区间内函

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