3.4.1生活中的优化问题举例3.4生活中的优化问题举例
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1、3.4 生活中的优化问题举例生活中的优化问题举例 生活中经常会遇到生活中经常会遇到求什么条件下求什么条件下可使用料最省，利可使用料最省，利润最大，效率最高等问题，这些问题通常称为润最大，效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题优化问题. .这往往可以归结为求函数的最大值或最小值问题这往往可以归结为求函数的最大值或最小值问题. .其中其中不少问题可以运用导数这一有力工具加以解决不少问题可以运用导数这一有力工具加以解决. .复习：如何用导数来求函数的最值？复习：如何用导数来求函数的最值？ 一般地，若函数一般地，若函数y=f (x)在在a，b上的图象是一条上的图象是一条连续不断的曲线连续不断的曲线，则求，则求f (x) 的最值的步骤是：的最值的步骤是：（1）求）求y=f (x)在在a，b内的极值内的极值(极大值与极小值极大值与极小值)；（2）将函数的各极值与端点处的函数值）将函数的各极值与端点处的函数值f (a)、f (b) 比较，比较， 其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. 特别地，特别地，如果函数在给定区间内如果函数在给定区间内只有一个极
2、值点只有一个极值点，则这个极值一定是最值。则这个极值一定是最值。例例1 1：海报版面尺寸的设计海报版面尺寸的设计 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图宣传。现让你设计一张如图3.4-1所示的竖向张贴所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为的海报，要求版心面积为128dm2，上、下两边各，上、下两边各空空2dm，左、右两边各空，左、右两边各空1dm，如何设计海报的，如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？尺寸，才能使四周空白面积最小？解解: :设版心的高为设版心的高为dm,则版心的宽为则版心的宽为dm，此时四周空白面积为，此时四周空白面积为 = 令 于是宽为 =8因此因此, =16是函数是函数的极小值点，也是最小值点的极小值点，也是最小值点.所以，所以，当版心高为当版心高为16dm，宽为时，宽为时8dm，能使四周空白面积最小。能使四周空白面积最小。如何解决优化问题如何解决优化问题? ?优化问题优化问题优化问题的答案优化问题的答案用函数表示的数学问题用函数表示的数学问题用导数解决数学问题用导数解决数学问题规格（规格（规格（
3、规格（L L）2 21.251.250.60.6价格（元）价格（元）价格（元）价格（元）5.15.14.54.52.52.5问题情景二：问题情景二：饮料瓶大小对饮料公司利润的影响饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品，若它们下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品，若它们的价格如下表所示，则的价格如下表所示，则（1）对消费者而言，选择哪一种更合算呢？）对消费者而言，选择哪一种更合算呢？（2）对制造商而言，哪一种的利润更大？）对制造商而言，哪一种的利润更大？例例1、 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造瓶子的制造成本是成本是0.8p pr2分分，其中，其中r是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出售售1ml的饮料，制造商可获利的饮料，制造商可获利0.2分分，且制造商能制造的瓶子的，且制造商能制造的瓶子的最大半径为最大半径为6cm，则每瓶饮料的利润何时最大，何时最小呢？，则每瓶饮料的利润何时最大，何时最小呢？r(0，2)2(2，6f (r)0f (r)-+减函数减函数 增函数增函数 -1
4、.07p p解：解：每个瓶的容积为每个瓶的容积为:每瓶饮料的利润：每瓶饮料的利润：解：设每瓶饮料的利润为解：设每瓶饮料的利润为y，则，则r(0，2)2(2，6f (r)0f (r)-+减函数减函数 增函数增函数 f (r)在在(2，6上只有一个极值点上只有一个极值点由上表可知，由上表可知，f (2)=-1.07p p为利润的最小值为利润的最小值-1.07p p例例1、 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造瓶子的制造成本是成本是0.8p pr2分分，其中，其中r是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出售售1ml的饮料，制造商可获利的饮料，制造商可获利0.2分分，且制造商能制造的瓶子的，且制造商能制造的瓶子的最大半径为最大半径为6cm，则每瓶饮料的利润何时最大，何时最小呢？，则每瓶饮料的利润何时最大，何时最小呢？解：设每瓶饮料的利润为解：设每瓶饮料的利润为y，则，则当当r(0，2)时，时，而而f (6)=28.8p p，故，故f (6)是最大值是最大值答：当瓶子半径为答：当瓶子半径为6cm时，每瓶饮料的利润最大，
5、时，每瓶饮料的利润最大，当瓶子半径为当瓶子半径为2cm时，每瓶饮料的利润最小时，每瓶饮料的利润最小.例例1、 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造瓶子的制造成本是成本是0.8p pr2分分，其中，其中r是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出售售1ml的饮料，制造商可获利的饮料，制造商可获利0.2分分，且制造商能制造的瓶子的，且制造商能制造的瓶子的最大半径为最大半径为6cm，则每瓶饮料的利润何时最大，何时最小呢？，则每瓶饮料的利润何时最大，何时最小呢？231、当半径为2cm时,利润最小,这时f(2)0,2、当半径为6cm时，利润最大。从图中可以看出:从图中，你还能看出什么吗？问题问题3:3:如何使一个圆形磁盘储存更多信息如何使一个圆形磁盘储存更多信息? ?例例3 3 磁盘的最大存储量问题磁盘的最大存储量问题: :磁道磁道扇区扇区基本单元基本单元 比特比特解：存储量=磁道数每磁道的比特数(1) 它是一个关于r的二次函数，从函数的解析式可以判断，不是r越小，磁盘的存储量越大。(2) 为求f(r)的最大值，先计算解
6、得解决优化问题的方法之一：解决优化问题的方法之一： 通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决在这个过程中，导数往往是一个有使问题得到解决在这个过程中，导数往往是一个有力的工具，其基本思路如以下流程图所示力的工具，其基本思路如以下流程图所示优化问题优化问题用函数表示的数学问题用函数表示的数学问题用导数解决数学问题用导数解决数学问题优化问题的答案优化问题的答案练习问题问题1:1:汽油的使用效率何时最高汽油的使用效率何时最高? ? 我们知道我们知道, ,汽油的消耗量汽油的消耗量w(w(单位单位:L):L)与汽车的速度与汽车的速度v(v(单位单位:km/h):km/h)之间有一定的关系之间有一定的关系, ,汽油的消耗量汽油的消耗量w w是汽车的速度是汽车的速度v v的的函数函数. .根据生活经验根据生活经验, ,思考下列两个问题思考下列两个问题: :(1)(1)是不是汽车的是不是汽车的速度越快速度越快, ,汽油的汽油的消耗量越大消耗量越大? ?(2) (2) “汽油的使用效率最高汽油的使用效率最高”的含义是什么的含义是什么? ?汽油的使用效率汽油的使用效率G=G=汽油的消耗量汽油的消耗量w/w/汽车行使路程汽车行使路程s,s, 即即:G=w/s:G=w/s求求G G的最小值问题的最小值问题斜率斜率=g/v(L/km=g/v(L/km) )如图如图; ;反映汽油平均消耗率反映汽油平均消耗率g(g(每小时的汽油每小时的汽油消耗量消耗量) )与汽车行使的平均速度与汽车行使的平均速度v v之间关系之间关系, ,30 50 60 90 12015 10 5g(L/hg(L/h) )v(km/hv(km/h) )g=f(v)
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