2008海门高三第二次诊断性考试

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江苏省海门市2008届高三第二次诊断性考试试卷数学（2007.11.29）注意事项：1．答选择题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考试科目、试卷类型等写在答题纸上，并贴好条形码。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。

3．主观题请在规定区域答题。

请务必保持答题纸的整洁，不要折叠，考试结束，将答题纸交回。

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．设集合,2n A x x n Z ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭，1,2B x x n n Z ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭，则A 与B 的关系是▲ ．2．复数121iz i+=-的虚部为 ▲ ． 3．如图，在ABC 中，12CD AE DA EB ==，记,AB a AC b ==，则DE ＝ ▲ ．（用a 与b 表示）4．在数列{}n a 中，已知11a =，1(2,)n n a n a n n N *-=+≥∈，则4a = ▲ ．5．函数2cos sin cos 1y x x x =+-的单调减区间是___▲_____． 6．若关于x的方程x m =+有两个不同的实数根，则实数m 的取值范围是▲ ．7．设1a >，函数2()log (22)x xa f x a a =--，则使()0f x >的x 的取值范围是 ▲ ． 8．已知圆221:(1)1C x y ++=，圆2C 与圆1C 外切，且与直线3x =切于点(3,1)，则圆2C 的方程为 ▲ ．9．如图，水波的半径以50/cm s 的速度向外扩张，当半径为250cm 时，圆面积的膨胀率为 ▲ 2/cm s ．10．若函数[]2()(2)3,,f x x a x x a b =+++∈的图像关于直线1x =对称，则此()f b = ▲ ．11．如图，摩天轮的半径为40m ，点O 距地面的高度为50m 摩天轮做匀速转动，每3min 转一圈，摩天轮上点P 的起始位置在最低处．在摩天轮转动的一圈内，有▲ min 点P 距离地面超过70m ．12．已知圆22220x y x y +--=上有3个点到直线0x y a +-=的距离都等于2， 则a = ▲ ．13．给出以下四个命题：①已知命题:,tan 2p x R x ∃∈=；命题2:,10q x R x x ∀∈-+≥.则命题p 和q 都是真命题； ②过点(1,2)-且在x 轴和y 轴上的截距相等的直线方程是10x y +-=； ③函数()ln 21f x x x =+-在定义域内有且只有一个零点； ④先将函数sin(2)3y x π=-的图像向左平移6π个单位，再将新函数的周期扩大为原来的两倍，则所得图像的函数解析式为sin y x =．其中正确命题的序号为 ▲ ．（把你认为正确的命题序号都填上）14．已知函数()f x 的定义域为(],2-∞，部分对应值如下表．()f x '为()f x 的导数，函数()y f x '=的图像如右图所示． x4- 02 ()f x1-11-若两正实数,a b 满足()1f a b +<，则11b a +-的取值范围是▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点2F 与抛物线24y x =的焦点重合，且经过点3(1,)2P ．⑴求此椭圆的方程及其离心率；⑵求以这个椭圆的焦点为顶点、顶点为焦点的双曲线的方程．16．（本小题满分14分）已知向量(3,1)m =，向量n 是与向量m 夹角为3π的单位向量． ⑴求向量n ；⑵若向量n 与向量(3,1)q =-共线，与向量22(3,)p x x y =-垂直，求254t y x =++的最大值．17．（本小题满分15分）设数列{}n a 的各项均为正数，它的前n 项的和为n S ，点(,)n n a S 在函数2111822y x x =++的图像上；数列{}n b 满足1111,()n n n n b a b a a b ++=-=．其中n N *∈．⑴求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； ⑵设n n n a c b =，求证：数列{}n c 的前n 项的和59n T >（n N *∈）．18．（本小题满分15分）在海岸A 处，发现北偏西075的方向，距离A 2n mile 的B 处有一艘走私船，在A 处北偏东045方向，距离A 1)n mile 的C处的缉私船奉命以mile/h 的速度追截走私船．此时，走私船正以10n mile/h 的速度从B 向北偏西030方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？19．（本小题满分16分）已知函数2()ln f x x a x =-和()g x x =-1x =处的切线平行．⑴试求函数()f x 和()g x 的单调增区间； ⑵设13b <<，求证：ln 2b b <．20．（本小题满分16分）定义在正整数集．．．．上的函数()f x 对任意,m n N *∈，都有 ()()()4()2f m n f m f n m n +=+++-，且(1)1f =．⑴求函数()f x 的表达式；⑵若21()m tm f x --≤对于任意的[]1,1m ∈-、x N *∈恒成立，求实数t 的取值范围；⑶对任意正整数n ，在162,n n ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦内总存在1m +个实数121,,,,m m a a a a +，使121()()()()m m f a f a f a f a ++++<成立，求m 的最大值．ABCD450 750 300江苏省海门市2008届高三第二次诊断性考试试卷数学附加题（2007.11.29）1．（本小题满分8分）求曲线249y x x =-+及直线3y x =+所围封闭区域的面积．2．（本小题满分10分）求直线1413x t y t=+⎧⎨=--⎩（t 为参数）被曲线)4πρθ=+所截得的弦长．3．（本小题满分10分）设M 是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换．（1）求矩阵M 的特征值及相应的特征向量；（2）求逆矩阵1M -以及椭圆22149x y +=在1M -的作用下的新曲线的方程．4．（本小题满分12分）假定某射手每次射击命中的概率为34，且只有3发子弹．该射手一旦射中目标，就停止射击，否则就一直独立地射击到子弹用完．设耗用子弹数为X ，求：⑴目标被击中的概率； ⑵X 的概率分布； ⑶均值()E X ．江苏省海门市2008届高三第二次诊断性考试试卷高三数学参考答案（2007.11.29）1．B A ⊆或B A ≠⊂ 2．323．233a b - 4．10 5．5,()88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ 6．2m ≤< 7． ()log 3,a +∞ 8．22764()525x y -+=9．25000π 10．27 11．1 12．1或3 13．①③④ 14．()(),11,-∞-+∞15．⑴由条件得2222211914c a b a b c =⎧⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎩21a b c =⎧⎪⇒=⎨⎪=⎩∴所求的椭圆的方程为22143x y +=， 其离心率12e =； ⑵由条件得，双曲线的半焦距2c =，实半轴长1a =，所以b =点在x 轴上，中心在原点，所以双曲线的方程为2213y x -=． 16．⑴设向量(,)n x y =，则2211x y y ⎧+=⎪+=，解之得：01x y =⎧⎨=⎩或212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， (0,1)n ∴=或31(,)2n =-; ⑵∵向量n 与向量(3,1)q =-共线，∴31(,)2n =-， 又∵与向量22(3,)p x x y =-垂直，∴223110222x x y -+=，即223y x x =- ∴2222543543643(1)7t y x x x x x x x =++=-++=-++=--+由2230y x x =-≥，可得103x ≤≤， ∴当13x =时，t 取得最大值，最大值为173． 17． ⑴由已知条件得2111822n n n S a a =++， ①当2n ≥时，2111111822n n n S a a ---=++， ②①－②得：221111()()82n n n n n a a a a a --=-+-，即1111()()4n n n n n n a a a a a a ---+=+-，∵数列{}n a 的各项均为正数，∴14n n a a --=（2n ≥）， 又12a =，∴42n a n =-； ∵1111,()n n n n b a b a a b ++=-=， ∴1112,4n n b b b +==，∴112()4n n b -=⋅； ⑵∵1(21)4n nn na c nb -==-， ∴22113454(23)4(21)4n n n T n n --=+⋅+⋅++-⋅+-⋅，2214434(25)4(23)4(21)4n n n n T n n n --=+⋅++-⋅+-⋅+-⋅，两式相减得21555312(444)(21)4(2)4333n n n n T n n --=++++--=---⋅<-，∴59n T >．18． 由已知条件得，2AB =，1AC =，0120BAC ∠=，∴BC6= 在ABC 中，sin sin AB BCACB BAC=∠∠，解之得sin ACB ∠=∴045ACB ∠=，∴BC 为水平线， 设经过时间t 小时后，缉私船追上走私船，则在ACD 中，10BD t =，CD =，0120DBC ∠=，1sin 2BDC ∠=，∴030BDC ∠=， ∴缉私船沿北偏西060的方向能最快追上走私船． 19．⑴∵()2af x xx '=-，()1g x '=， 由条件得(1)(1)f g ''=，即212aa -=-，解得2a =， 令2()20f x x x'=->，解得10,1x x -<<>，而0x >， ∴函数()f x 的单调增区间为()1,+∞， 同理()g x 的单调增区间为()1,+∞；⑵∵函数()f x 在()1,+∞上是增函数，且1b >， ∴22ln 1b b ->，同理1b ->-，∴22ln b b b ->，∵13b <<，∴(1)ln 22b b b b +<<，即ln 2b b +<． 20．⑴取1m =，(1)()(1)4(1)243f n f n f n n +-=++-=+， 当2n ≥时，[][][]()(1)(2)(1)(3)(2)()(1)f n f f f f f f n f n =+-+-++--222n n =+-，又(1)1f =，∴2()22()f x x x x N *=+-∈； ⑵2117()2()48f x x =+-， ∴1x =时min ()1f x =，由条件得211m tm --≤在[]1,1m ∈-上恒成立，即220m tm --≤，若0m =，则t R ∈， 若01m <≤，则2t m m≥-，即1t ≥-，若10m -≤<，则2t m m≤-，即1t ≤， 综上：11m -≤≤； ⑶∵()f x 在162,n n ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上单调递增， ∴12116(2)()()()()()m m mf f a f a f a f a f n n+<+++<≤+∴只须16(2)()mf f n n<+对n N *∈恒成立， 而2161616()2()()2134f n n n n n n+=+++-≥，∴8134m <即674m <，又m N *∈，∴max 16m =．附加题答案：1．解方程组2493y x x y x ⎧=-+⎨=+⎩，得25x y =⎧⎨=⎩或36x y =⎧⎨=⎩，∴面积3323222151(349)(6)326S x x x dx x x x =+-+-=-+-=⎰．2．把1413x ty t=+⎧⎨=--⎩化为普通方程为4310x y +-=，把)4πρθ=+化为直角坐标系中的方程为220x y x y +-+=，∴圆心到直线的距离为110，∴弦长为75=．3．（1）由条件得矩阵2003M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 它的特征值为2和3，对应的特征向量为10⎡⎤⎢⎥⎣⎦及01⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）1102103M -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 椭圆22149x y +=在1M -的作用下的新曲线的方程为221x y +=． 4． ⑴目标被击中的概率为31631()464-=； ⑵X 的分布列为X1 23 P （X ）34316 116⑶均值33121()1234161616E X =⨯+⨯+⨯=．。

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