名校之门2011届高三数学精品复习之(26)数学归纳法

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名校之门2011届高三数学精品复习

2011届高三数学精品复习之数学归纳法、极限

1．数学归纳法用于证明一个“关于正自然数n的命题对于从正自然数n0开始的所有正自然数n都成立”的问题。 2．能根据f(k)正确写出f(k+1),并能指出f(k)与f(k+1)之间的关系，这往往是运用数学归纳法的最关键的一步。 [举例1]已知f(n) A．f(n)+

1111 ，则f(n 1)= n 1n 2n 32n

111， B．f(n)++，

2n 12(n 1)2(n 1)

111

D．f(n)+-

2n 12(n 1)2(n 1)

C．f(n)-

解析：f(n)是从n+1开始的n个连续自然数的倒数和，故f(n 1)是从n+2开始的n+1个连续自然数的倒数和，即 f(n 1)==

11111

n 2n 3n 1 n 1n 1 nn 1 n 1

11111111 =f(n)++-

2n 12(n 1)n 1n 2n 32n2n 12(n 1)

11

- 故选D。

2n 12(n 1)

=f(n)+

[举例2]用数学归纳法证明“5n－2n能被3整除”的第二步中，n=k+1时，为了使用归纳假设，应将5k+1－2k+1变形为 [解析]假设n=k时命题成立.即:5k－2k 被3整除.当n=k+1时，5k+1－2 k+1 =5×5k－2×2 k =5(5k－2k) ＋5×2k－2×2k=5(5k－2k) ＋3×2k [巩固1] 用数学归纳法证明1＋

111＋＋…＋n<n (n>1)时，由n＝k (k>1)不等式成232 1

k

k

k

立，推证n＝k＋1时，左边应增加的代数式的个数是_____。

A. 2

k 1

B. 2－1 C. 2 D. 2＋1

[巩固2]用数学归纳法证明命题：

(n＋1) ×(n＋2) ×…×(n＋n)=2n×1×3×…×(2n－1)

3．数学归纳法公理：如果关于自然数n 的一个命题p(n)满足下列条件 (1) p(n0)成立,即当n=n0时,命题成立，(2) 假设p(k)成立,则p(k+1)也成立；根据(1)(2)知命题p(n)对n≥n0的所有自然数n都成立。用数学归纳法证明问题的过程实质上是一个递推的过程，（1）是递推的基础，（2）是递推的条件；二者缺一不可。

4．数学归纳法通常用于证明关于自然数n的等式、不等式、整除性等。用“归纳假设”即命题p(k)成立证明命题 p(k+1)成立（已知p(k)成立，求证p(k+1)成立）是数学归纳法证明中最关键的一步；而明晰命题p(k)与命题 p(k+1)之间的关系又是实现这一步的前提。

[举例1] 已知m为正整数，用数学归纳法证明：当x 1时，(1 x)≥1 mx；

m

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