抽屉原理及其简单应用

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1、抽屉原理及其简单应用一、知识要点抽屉原理又称鸽巢原理，它是组合数学的一个基本原理，最先是由德国数学家狄利克雷明确地提出来的，因此，也称为狄利克雷原理。把 3 个苹果放进 2 个抽屉里，一定有一个抽屉里放了 2 个或 2 个以上的苹果。这个人所皆知的常识就是抽屉原理在日常生活中的体现。用它可以解决一些相当复杂甚至无从下手的问题。原理 1：把 n+1 个元素分成 n 类，不管怎么分，则一定有一类中有2 个或 2 个以上的元素。原理 2：把 m 个元素任意放入 n（nm）个集合，则一定有一个集合至少要有 k 个元素。其中 km/n（当 n 能整除 m 时）或 km/n1（当 n 不能整除 m 时），这里m/n表示不大于 m/n 的最大整数，即 m/n 的整数部分。原理 3：把无穷多个元素放入有限个集合里，则一定有一个集合里含有无穷多个元素。原理 2 也可以变为：把 m 个元素任意放入 n（nm）个集合，则一定有一个集合至多要有 k 个元素。其中 km/n，这里m/n表示不大于 m/n 的最大整数，即 m/n 的整数部分。二、应用抽屉原理解题的步骤第一步：分析题意。分清什么是“东西”，什么是“

2、抽屉”，也就是什么作“东西”，什么可作“抽屉”。第二步：制造抽屉。这个是关键的一步，这一步就是如何设计抽屉。根据题目条件和结论，结合有关的数学知识，抓住最基本的数量关系，设计和确定解决问题所需的抽屉及其个数，为使用抽屉铺平道路。第三步：运用抽屉原理。观察题设条件，结合第二步，恰当应用各个原则或综合运用几个原则，以求问题之解决。利用上述原理容易证明：“任意 7 个整数中，至少有 3 个数的两两之差是 3 的倍数。”因为任一整数除以 3 时余数只有 0、1、2 三种可能，所以 7 个整数中至少有 3 个数除以 3 所得余数相同，即它们两两之差是 3 的倍数。三、应用抽屉原理解题例举:1木箱里装有红色球个、黄色球个、蓝色球个，若蒙眼去摸，为保证取出的球中有两个球的颜色相同，则最少要取出多少个球？解：把种颜色看作个抽屉，若要符合题意，则小球的数目必须大于，故至少取出个小球才能符合要求。2一幅扑克牌有 54 张，最少要抽取几张牌，方能保证其中至少有 2张牌有相同的点数？解：点数为 1(A)、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11(J)、12(Q)、13(K)的牌各取 1 张，再取大王、小王各

3、 1 张，一共 15 张，这 15 张牌中，没有两张的点数相同。这样，如果任意再取 1 张的话，它的点数必为 113 中的一个，于是有 2 张点数相同。311 名学生到老师家借书，老师是书房中有、四类书，每名学生最多可借两本不同类的书，最少借一本。试证明：必有两个学生所借的书的类型相同。证明：若学生只借一本书，则不同的类型有、四种；若学生借两本不同类型的书，则不同的类型有AB、AC、AD、BC、BD、CD 六种。共有 10 种类型，把这 10 种类型看作10 个“抽屉”，把 11 个学生看作 11 个“苹果”。如果谁借哪种类型的书，就进入哪个抽屉，由抽屉原理，至少有两个学生，他们所借的书的类型相同。4有 50 名运动员进行某个项目的单循环赛，如果没有平局，也没有全胜试证明：一定有两个运动员积分相同证明：设每胜一局得一分，由于没有平局，也没有全胜，则得分情况只有 1、2、349，只有 49 种可能，以这 49 种可能得分的情况为 49 个抽屉，现有 50 名运动员得分，则一定有两名运动员得分相同。5体育用品仓库里有许多足球、排球和篮球，某班 50 名同学来仓库拿球，规定每个人至少拿个球，

4、至多拿个球，问至少有几名同学所拿的球种类是一致的？解题关键：利用抽屉原理。解：根据规定，多有同学拿球的配组方式共有以下种：足排蓝足足排排蓝蓝足排足蓝排蓝。以这种配组方式制造个抽屉，将这 50 个同学看作苹果50955由抽屉原理km/n可得，至少有人，他们所拿的球类是完全一致的。6某校有 55 个同学参加数学竞赛，已知将参赛人任意分成四组，则必有一组的女生多于 2 人，又知参赛者中任何 10 人中必有男生，则参赛男生的人生为_人。解：因为任意分成四组，必有一组的女生多于 2 人，所以女生至少有 4219（人）；因为任意 10 人中必有男生，所以女生人数至多有 9 人。所以女生有 9 人，男生有 55946（人）抽屉原理的内容简明朴素，易于接受，它在数学问题中有重要的作用。许多有关存在性的证明都可用它来解决。1958 年 6/7 月号的美国数学月刊上有这样一道题目：“证明在任意 6 个人的集会上，或者有 3 个人以前彼此相识，或者有三个人以前彼此不相识。”这个问题可以用如下方法简单明了地证出：在平面上用 6 个点 A、B、C、D、E、F 分别代表参加集会的任意 6 个人。如果两人以前彼此认

5、识，那么就在代表他们的两点间连成一条红线；否则连一条蓝线。考虑 A 点与其余各点间的 5 条连线AB，AC，.，AF，它们的颜色不超过 2 种。根据抽屉原理可知其中至少有 3 条连线同色，不妨设 AB，AC，AD 同为红色。如果 BC，BD，CD3条连线中有一条（不妨设为 BC）也为红色，那么三角形 ABC 即一个红色三角形，A、B、C 代表的 3 个人以前彼此相识：如果 BC、BD、CD3 条连线全为蓝色，那么三角形 BCD 即一个蓝色三角形，B、C、D 代表的 3个人以前彼此不相识。不论哪种情形发生，都符合问题的结论。【欢迎你来解】1.某班 37 名同学，至少有几个同学在同一个月过生日？2.42 只鸽子飞进 5 个笼子里，可以保证至少有一个笼子中可以有几只鸽子？3.口袋中有红、黑、白、黄球各 10 个，它们的外型与重量都一样，至少要摸出几个球，才能保证有 4 个颜色相同的球？4.饲养员给 10 只猴子分苹果，其中至少要有一只猴子得到 7 个苹果，饲养员至少要拿来多少个苹果？5.从 13 个自然数中，一定可以找到两个数，它们的差是 12 的倍数。6.一个班有 40 名同学，现在有课外书 125 本。把这些书分给同学，是否有人会得到 4 件或 4 件以上的玩具？

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