专题1.4 生活中的优化问题举例

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1．利用导数解决优化问题 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．______是求函数最值问题的有力工具． 解决优化问题的基本思路是： K知识参考答案： 1．导数 K—重点 利用导数解决生活中的优化问题 K—难点 利用导数解决利润最大、用料最省、效率最高等问题 K—易错 求利润最大、用料最省、效率最高等问题时，易忽略实际意义 最大值问题 实际生活中利润最大，容积、面积最大，流量、速度最大等问题都需要利用导数来求解相应函数的最大值．若在定义域内只有一个极值点，且在极值点附近左增右减，则此时唯一的极大值就是最大值． 如图所示，在边长为60cm的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它沿虚线折起，做成一个无盖的长方体箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？ 【答案】箱子底边长为40cm时，容积最大，最大容积为16000cm3． 【解析】设箱子的底边长为xcm，则箱子高cm， 箱子容积， 得，令，解得（不合题意，舍去），． 当x在内变化时，的正负如下表： 因此在处，函数取得极大值，并且这个极大值就是函数的最大值． 将代入，得最大容积为．学科网 所以，箱子底边长为40cm时，容积最大，最大容积为16000cm3． 【名师点睛】（1）求几何体面积或体积的最值问题，关键是分析几何体的几何特征，根据题意选择适当的量建立面积或体积的函数，然后再用导数求最值；（2）注意根据实际意义对求出的解进行取舍． 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）． （1）将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域； （2）讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大． 【答案】（1），；（2）见解析． （2）因为V(r)＝(300r－4r3)（），所以． 令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝（因为r2＝不在定义域内，舍去）． 当r∈(0，5)时，V′(r)＞0，故V(r)在(0，5)上为增函数； 当r∈(5，)时，V′(r)＜0，故V(r)在(5，)上为减函数． 由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8，即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大． 最小值问题 实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等问题都需要利用导数求解相应函数的最小值．用料最省、费用最低问题出现的形式多与几何体有关，解题时根据题意明确哪一项指标最省(往往要从几何体的面积、体积入手)，将这一指标表示为自变量x的函数，利用导数或其他方法求出最值，但一定要注意自变量的取值范围． 一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比．已知速度为10海里/小时时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1海里所需的费用总和最小？ 【答案】速度为20海里/小时时，航行1海里所需的费用总和最小． 【名师点睛】本题是费用最少问题，若在定义域内只有一个极值点，且在极值点附近左减右增，则此时唯一的极小值就是最小值．学科#网 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源消耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度（单位：厘米）满足关系：，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． （1）求的值及的表达式； （2）隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值． 【答案】（1），；（2）隔热层5cm厚时，总费用最小为70万元． （2），令，解得或（舍去）． 当时，；当时，， 故是的最小值点，对应的最小值是． 故当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值70万元． 1．某箱子的容积与底面边长x的关系为，则当箱子的容积最大时，箱子的底面边长为 A．30B．40 C．50D．35 2．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 A．13万件B．11万件 C．9万件D．7万件 3．路灯距地平面8m，一个身高为1.6m的人以2m/s的速度在地平面上，从路灯在地平面上的射影点C开始沿某直线离开路灯，那么人影长度的变化速度v为 A．m/sB．m/s C．m/sD．m/s 4．现有一段长为18m的铁丝，要把它围成一个底面一边长为另一边长2倍的长方

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