【实验与探究：在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对应的边分别用a、b、c表示．（1）如图1，在△ABC中，∠A=2∠B，且∠A=60°．易证：a2=b（b+c）（2）如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍，】

使用ABC法则，将任务分为A、B、C三个等级，A级是最重要的 #生活技巧# #组织技巧# #任务优先级#

问题描述：

实验与探究：在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对应的边分别用a、b、c表示．

（1）如图1，在△ABC中，∠A=2∠B，且∠A=60°．易证：a2=b（b+c）

（2）如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”．本题第一问中的三角形是一个特殊的倍角三角形，那么对于任意的倍角△ABC，如图2，∠A=2∠B，关系式a2=b（b+c）是否仍然成立？并证明你的结论．

归纳与发现

由以上的证明，可以得到关于倍角三角形的一个结论：一个三角形中有一个角等于另一个角的两倍，2倍角所对边的平方等于一倍角所对边乘该边与第三边的和．

运用与推广

（3）（2009年全国初中数学联赛）在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的2倍，且AB=7，AC=8．则BC=______

（A）7

2 （B）10 （C）

105 （D）7

3

（4）是否存在一个三边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于另一个内角2倍的△ABC？证明你的结论．

侯珺回答：

　　（1）证明：∵∠A=2∠B，且∠A=60°，

　　∴∠B=30°，

　　∴∠C=180°-∠A-∠B=90°，

　　∴a2+b2=c2，c=2b，

　　∴a2=c2-b2=（2b）2-b2=3b2=b2+2b2=b2+bc=b（b+c）；

　　（2）关系式a2=b（b+c）仍然成立．

　　证明：如图2所示，

　　∵△ACD为等腰三角形，

　　∴∠ACD=∠D，

　　∵∠BAC为△ACD的一个外角，

　　∴∠BAC=∠D+∠ACD=2∠D，

　　∵∠BAC=2∠B，

　　∴∠B=∠D，

　　∴CD=BC=a，∠B=∠ACD，

　　∴BD=AB+AD=b+c，

　　又∵∠D为△ACD与△CBD的一个公共角，

　　∴△ACD∽△CBD．

　　∴CDBD

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