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生活中的优化问题举例43978

3.4 生活中的优化问题举例沂水三中高二数学组 温基 复习： 1．如果函数f(x)在闭区间[a，b]上是连续函数，那么函数f(x)在[a，b]上必有__________和 __________，但在开区间(a，b)上的连续函数 __________有最大值和最小值． 2．闭区间上连续函数的最大值和最小值必是这个区间内的__________、__________和区间端点___________中的一个． 最大值 最小值 不一定 极大值 极小值 函数值 学习目标 1.掌握解决有关函数最大值、最小值的实际问题的方法． 2．提高用有关求函数的最大值、最小值的知识解决一些实际问题的能力． 教学重点: 掌握导数生活中的优化问题问题中的应用． 教学难点: 建立数学模型． 解决优化问题的基本思路： 1.将优化问题转化为用函数表示的数学问题。 2.用导数解决数学问题。 3.将用导数解决的问题转化为优化问题作答。 常见的优化问题（最值问题）有： 1.几何方面的应用 . 2.经济学方面的应用 (面积和体积等的最值) (利润方面最值) 题型一：面积、体积计算 一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2,上下边各空2dm,左右空1dm,如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？ 解：设版心的高为xcm,则宽为 此时四周空白面积为： 求导数，有 解得，x=16 (x=-16舍去） 因此，x=16是函数s(x)的极小值点，也是最小值点。 所以，当版心高为16dm,宽为8dm时，能使四周空白面积最小。 答：当版心高为16dm,宽为8dm时，海报四周空白面积最小。 注：若函数 f ( x )在定义域内只有一个极值点x0 ，则不需与端点比较， f ( x0 )即是所求的最大值或最小值. (所说区间的也适用于开区间或无穷区间) 练习1：在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？ 由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16000是最大值。 答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm3 解：设箱底边长为xcm，则箱高 cm， 得箱子容积 令 ，解得 x=0（舍去），x=40， 并求得V(x)的最小值=V(40)=16000 题型二、 利润方面最值 例2、某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x(单位：元，0≤x≤21)的平方成正比．已知商品单价降低2元时，每星期多卖出24件． (1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数； (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？ 【解】　(1)设商品降价x元，则多卖的商品数为kx2，若记商品在一个星期的获利为f(x)， 则有f(x)＝(30－x－9)(432＋kx2) ＝(21－x)(432＋kx2)， 又由已知条件，24＝k×22，于是有k＝6. 所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9072，x∈[0,21]． (2)根据(1)， f′(x)＝－18x2－252x－432＝－18(x－2)(x－12)． 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x [0,2) 2 (2,12) 12 (12,21] f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x)  极小值  极大值  故x＝12时，f(x)取得极大值． 因为f(0)＝9072，f(12)＝11664， 所以定价为30－12＝18元能使一个星期的商品销售利润最大． 注意：　解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有：(1)利润＝收入－成本；(2)利润＝每件产品的利润×销售件数． 达标练习： 1、进货原价为80元的商品400个，按90元一个售出时，可全部卖出。已知这种商品每个涨价一元，其销售数就减少20个，所获利润最大时售价应为（ ） A、90 B、95 C、100 D、105 2、用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，若所制作容器的底面的一边比高长0.5m，则当高为 时，容器的容积最大。 作业题： 圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？ 课堂小结：1、用导数解最值应用题，一般应分为五个步骤：(1)建立函数关系式y＝f(x)； (2)求导函

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