科学网—[科普，惊悚] 演绎推理的局限性：芝诺的“运动场悖论”、“阿基里斯追龟悖论” paradoxes of Zeno

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[科普，惊悚] 演绎推理的局限性：芝诺的“运动场悖论”、“阿基里斯追龟悖论” paradoxes of Zeno

演绎推理： deductive inference

芝诺悖论： paradoxes of Zeno

阿喀琉斯/阿基里斯悖论： Achilles paradox

阿喀琉斯/阿基里斯与乌龟： Achilles and the tortoise

哥德尔不完全性定理： Gödel incompleteness theorem

图1  芝诺 Zeno of Elea, c.495 BCE ~ c.430 BCE, 65

https://cdn.futura-sciences.com/buildsv6/images/largeoriginal/0/5/c/05c49d8ad6_80160_zenon-buzzco-associates-inc-youtube.jpg

https://www.futura-sciences.com/sciences/actualites/mecanique-quantique-effet-zenon-nouvelle-preuve-cette-etrangete-quantique-60252/

   采用语言的抽象逻辑思维是有局限性的。

   约 2400年之前，就有“芝诺悖论 paradoxes of Zeno （约公元前495～前430）”，近 100年有“哥德尔不完全性定理 Gödel incompleteness theorem （1931）”、“Chaitin定理（1966）”。

一、芝诺的“运动场悖论”、“阿基里斯追龟悖论”

1.1  中国大百科全书词条“芝诺（爱利亚的） /Zeno of Elea”摘录

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=420534&Type=bkzyb&SubID=102003

运动场悖论

   从体育场的一端跑到另一端，需要跑完全程的一半，要跑完后半程，又需要先跑完它的一半。因此，总是需要跑完半程的一半，却永远不能跑到尽头。

阿基里斯追龟悖论

   阿基里斯追龟悖论是说英雄阿基里斯比乌龟晚出发，即使他速度再快，也需要首先追赶到乌龟提前出发已经跑到的位置，而在他跑到这个位置的时候，乌龟又往前跑了一段到达第二个位置，当阿基里斯继续追赶到第二个位置时，乌龟又往前跑到第三个位置。如此类推，无论阿基里斯跑得多快，乌龟总是往前多跑了一段距离，所以阿基里斯永远也不可能追赶上乌龟。

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=420534&Type=bkzyb&SubID=102003

1.2  《科普中国》文献“芝诺悖论揭示语言面对现实的尴尬”的笔记

https://www.kepuchina.cn/article/articleinfo?business_type=100&classify=0&ar_id=271272

   其实，芝诺悖论揭示出的是语言面对现实的困境，

   人的语言更偏重于结果性而不是过程性。这种工具不合用的局面有些类似于拿着一把叉子面对着一碗汤，又有些类似于当年爱因斯坦发明广义相对论时苦于没有合适的数学语言（他幸运的是，有黎曼准备好了全新的几何系统）。

语言和思维的局限

   语言和思维的局限肯定还有，比如，由于我们生活在正向延续的时间中，相应发展出的语言只能够描绘这种时序。虽然今天科学理论上已经有了时光倒流的说法，但在语言中仍然难以叙述。

   也许你会问：不是可以倒叙嘛？举个例子，“我走进房间然后喝了一杯水。”这句话的倒叙是“喝了一杯水，之前，我走进房间。”是的，可以将连续的事件破成了两个时间段，然后颠倒，但问题是“走进”和“喝水”依然是在正向时序中述说。这都是因为人们从来没有倒时序的体验，所以语言以及创造它的思维逻辑都不适应。

https://www.kepuchina.cn/article/articleinfo?business_type=100&classify=0&ar_id=271272

1.3  吴炜，程本学，李珍编著. 自然辩证法概论[M]. 2019，第 122-123 页

傻注：演绎推理 deductive inference 的一些特征

   必须指出的是，无效推理虽然不是完全无效的，但由于它的结论不具有必然性，因而与有效推理即必然性推理就有了本质的区别。

   以此为界限，现代逻辑将推理一分为二：必然性推理与或然性推理。

   必然性推理即演绎推理，或然性推理即归纳推理。因此，演绎推理的定义是：演绎推理就是前提与结论之间有必然性联系的推理。前提与结论之间有必然性联系即前提蕴含结论，因此，这一定义也可以等价地表述为：演绎推理就是前提与结论之间有蕴含关系的推理。

   演绎推理为什么会具有这种“保真性”？它为什么是一种“安全的”推理工具？

   一个现存的解释是，演绎推理的结论早已包含在前提之中了，实际上是已知的，推理过程只不过是把前提中隐含的信息明朗化，是对前提中已有内容的某种重复。因此，演绎推理推不出新知识。

吴炜，程本学，李珍编著. 自然辩证法概论[M]. 2019，第 122-123 页

二、希尔伯特：总是说，对物理学家来说，物理学太难了，需要客观公正、根基雄厚的数学帮助他

图2  （美）冯·卡门，（美）李·爱特生著. 《钱学森的导师 冯·卡门传》 2011 第 49 页局部

Theodore von Karman, Lee Edson. The Wind and Beyond: Theodore von Karman, Pioneer in Aviation and Pathfinder in Space [M]. 的汉译本？

三、抽象思维的局限性

https://www.kepuchina.cn/article/articleinfo?business_type=100&classify=0&ar_id=334248

   因此，不管你过去是多么地近乎本能的习惯于形象思维和抽象思维相互干扰的混合状态，你现在在一些相对重要得问题上必须强迫自己进行一个完整的抽象思维过程。这种要求在社会科学领域尤其迫切。通过第四讲的学习你将了解，抽象思维本身已不是尽善尽美的思维方法，它和现实的本来面目已存在距离，在社会科学领域比比皆是的逻辑混乱的做法，更让以抽象思维为基础的“社会科学”远离了科学范畴。

   研究客体的能动性和社会性导致的复杂加大了社会科学的抽象思维的困难，但社会科学的抽象思维的低水平主要还是因为人们忘了严密的抽象思维都有哪些要求。

https://www.kepuchina.cn/article/articleinfo?business_type=100&classify=0&ar_id=334248

附录、复习：物理和数学之间的关系

2024-01-31，奥林匹亚科学院 Akademie Olympia （关联广义相对论 general relativity）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1420110.html

   爱因斯坦运用数学工具虽然无比精湛，但他常常讲到要反对在物理学领域中滥用数学。他这样说：“物理学按其本质是一种具体的和直觉的科学。数学只为我们提供方法来表述现象所遵循的规律。”

   “最主流”们的其它相关名言：

   （1）牛顿：没有大胆猜测，就没有重大发现。

   （2）高斯：我已经有了结果，但还不知道怎么得到它。

   （3）庞加莱：没有假设，科学家将寸步难行。

   （4）爱因斯坦：创新不是由逻辑思维带来的，尽管最后的产物有赖于一个符合逻辑的结构。

   （5）爱因斯坦：真正有价值的是直觉。在探索的道路上智力无甚用处。

   （6）爱因斯坦：想像力比知识更重要。因为知识是有限的，而想像力是无限，它包含了一切，推动着进步，是人类进化的源泉。

   （7）开普勒：我珍惜类比胜于任何别的东西，它是我最可信赖的导师，它了解自然界的全部秘密，在几何学中它最不应被忽视。

   （8）拉普拉斯：甚至在数学里，发现真理的主要工具也是归纳和类比。

   （9）庞加莱：逻辑是证明的工具，直觉是发明的工具。逻辑可以告诉我们走这条路或那条路保证不遇见任何障碍，但是它不能告诉我们哪条道路能引导我们到达目的地。为此必须从远处瞭望目标，教导我们瞭望的本领的是直觉。没有直觉，数学家就会像这样一个作家，他只会按语法写诗，但是却毫无思想。

   （10）希尔伯特：数学知识终究要依赖于某种类型的直觉洞察力。

   （11）当别人问高斯如何得到他定理，人类历史上数学家综合排行榜第二的高斯，毫不含糊地说：“…通过系统的、明显的实验。... through systematic, palpable experimentation. ... durch planmässiges Tattonieren.”：

https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Gauss/quotations/

   伟大数学家高斯在1830年给贝塞尔的信中写道：

   "We must admit with humility that, while number is purely a product of our minds, space has a reality outside our minds, so that we cannot completely prescribe its properties a priori. 我们必须谦虚地承认，虽然数字纯粹是我们头脑的产物，但空间在我们头脑之外有一个现实，因此我们不能完全先验地规定其性质。"

https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Gauss/quotations/

  参考资料：

[1] 2022-12-23，芝诺（爱利亚的） /Zeno of Elea/常旭旻，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=420534&Type=bkzyb&SubID=102003

[2] 科普中国，2021-12-31，芝诺悖论揭示语言面对现实的尴尬 

https://www.kepuchina.cn/article/articleinfo?business_type=100&classify=0&ar_id=271272

[3] 科普中国，2021-12-31，神奇的运动悖论——浅析芝诺悖论 

https://www.kepuchina.cn/article/articleinfo?business_type=100&classify=0&ar_id=177037

[4] 科普中国，2021-12-31，抽象思维

https://www.kepuchina.cn/article/articleinfo?business_type=100&classify=0&ar_id=334248

[5] 2023-06-02，思维与存在的同一性/identity of thinking and being/仲佰，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=727619&Type=bkzyb&SubID=137881

   思维和存在的同一性问题是人类实践活动中的普遍性问题，解决思维和存在的同一性的基础也只能是实践。在社会实践中，一方面存在可以转化为思维，即客观现实通过实践反映在人脑中成为观念形态；另一方面，思维也可以转化为存在，即思想、观念通过实践变为客观现实。在这种相互转化的过程中，实践产生关于存在的思维，检验关于存在的思维，发展关于存在的思维，使思维和存在不断在新的水平上达到具体的、历史的统一。

[6] Achilles paradox, logic, britannica

https://www.britannica.com/topic/Achilles-paradox

[7] paradoxes of Zeno, Greek philosophy, britannica

https://www.britannica.com/topic/paradoxes-of-Zeno

[8] Zeno of Elea, MacTutor History of Mathematics Archive

https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Zeno_of_Elea/

[9] Field, Paul and Weisstein, Eric W. "Zeno's Paradoxes." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.

https://mathworld.wolfram.com/ZenosParadoxes.html

[10] Zeno’s Paradoxes, 2024-03-06, Stanford Encyclopedia of Philosophy

https://plato.stanford.edu/entries/paradox-zeno/

[11] Gödel incompleteness theorem. Encyclopedia of Mathematics.

https://encyclopediaofmath.org/wiki/G%C3%B6del_incompleteness_theorem

[12] Gödel’s Incompleteness Theorems, Stanford Encyclopedia of Philosophy

https://plato.stanford.edu/entries/goedel-incompleteness/

[13] Gödel’s incompleteness theorems - Encyclopedia Britannica

https://www.britannica.com/topic/history-of-logic/Development-of-model-theory

[14] Kurt Gödel, MacTutor History of Mathematics Archive

https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Godel/

[15] Gregory John Chaitin. Information-theoretic computation complexity [J]. IEEE Transactions on Information Theory, 1974, 20(1): 10-15.

DOI: 10.1109/TIT.1974.1055172

https://ieeexplore.ieee.org/document/1055172

https://dl.acm.org/doi/10.1109/TIT.1974.1055172

相关链接：

[1] 2022-08-02，[求助] 希尔伯特“物理对于物理学家来说实在是太难了!”的出处

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1349735.html

[2] 2024-10-22，[打听，笔记] 推导符号公式的局限性：从数学、心理学到哲学

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1456506.html

[3] 2024-07-15，[笔记，随感] 物理理论与物理实验

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1442409.html

[4] 2024-09-19，[随笔，讨论] 物理学理论，可以具有严密的内在逻辑性吗？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1451826.html

[5] 2022-08-14，[小科普] 我不打算劝柯西：“你还以为自己是高斯啊！”

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1351144.html

[6] 2024-07-02，[偶感，随笔，科普] 抽象（逻辑）思维的局限性（关联：丘奇-图灵论题 The Church-Turing thesis ）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1440701.html

[7] 2022-03-03，[求助] 普朗克 Planck “取决于人类认识能力的局限性”的出处

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[8] 2024-05-16，[请教，讨论] 同一律与柯尔莫哥洛夫 Kolmogorov 的数学观

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[9] 2024-05-19，[羡慕，讨论，物理] 仅推公式就能得到成果的人

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[10] 2024-11-09，[汇报] 为什么提出两类“实体实验”的建议

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1459322.html

[11] 2024-09-22，[随笔，讨论，汇报] 为什么不直接统一“广义相对论”和“量子力学”？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1452212.html

[12] 2023-11-12，[打听] “杨氏双缝干涉”，与“光源”等有关吗？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1409410.html

[13] 2010-03-09，逻辑方法的局限性：Gödel incompleteness theorem和Chaitin theorem

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-301287.html

[14] 2010-03-10，逻辑方法的局限性：元知识、乌龟塔与盲人摸象

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-301534.html

[15] 2022-02-19，[科普 + 备课] 哥德尔不完全性定理（1931年）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1326086.html

[16] 2022-03-01，[科普 + 备课] Chaitin定理（1966年）

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1327564.html

[17] 2011-08-21，《中国“科学网大学”逻辑基础研讨中心》活动之三：俗解Chaitin定理

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-478066.html  

[18] 2024-03-30，[笔记，数学文化] 用清晰的思想代替盲目的计算：香农的信息熵

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1427605.html

   他（注：香农）的求学经历对中国的工科大学生和研究生很有启发：如果你想成长为杰出的工程师，年轻时多学点数学思想，多读些数学书籍，而不要急于沉湎于琐碎的工程细节。

   狄利克雷（Peter Gustav Lejeune Dirichlet, 1805-02-13 ~ 1859-05-05）：

   “用清晰的思想代替盲目的计算。 Replacing blind calculations by clear ideas.”

[19] 2024-05-14，[请教，讨论] 电磁学的实验再检验（12）：为什么要“最直接”地再测量？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1434112.html

   同一律，在现实世界中一般不严格成立。

   所以，

   符号公式推导的步数越多，

   推导的结果越可能越偏离实际。

感谢您的指教！

感谢您指正以上任何错误！

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