(2014•宜昌)“低碳生活，绿色出行”是我们倡导的一种生活方式，有关部门抽样调查了某单位员工上下班的交通方式，绘制了如下统计图： (1)填空：样本中的总人数为　80　；开私家车的人数m=　20　；扇形统计图中“骑自行车”所在扇形的圆心角为　72　度； (2)补全条形统计图； (3)该单位共有2000人，积极践行这种生活方式，越来越多的人上下班由开私家车改为骑自行车．若步行，坐公交车——青夏教育精英家教网——

23．(11分)(2014•宜昌)在矩形ABCD中，=a，点G，H分别在边AB，DC上，且HA=HG，点E为AB边上的一个动点，连接HE，把△AHE沿直线HE翻折得到△FHE． (1)如图1，当DH=DA时， ①填空：∠HGA=　45　度； ②若EF∥HG，求∠AHE的度数，并求此时的最小值； (2)如图3，∠AEH=60°，EG=2BG，连接FG，交边FG，交边DC于点P，且FG⊥AB，G为垂足，求a的值． 考点： 四边形综合题． 分析： (1)①根据矩形的性质和已知条件得出∠HAE=45°，再根据HA=HG，得出∠HAE=∠HGA，从而得出答案； ②先分两种情况讨论：第一种情况，根据(1)得出∠AHG=90°，再根据折叠的性质得出∠HAE=∠F=45°，∠AHE=∠FHE，再根据EF∥HG，得出∠AHF=∠AHG﹣∠FHG，即可得出∠AHE=22.5°，此时，当B与G重合时，a的值最小，求出最小值；第二种情况：根据已知得出∠AEH+∠FEH=45°，由折叠的性质求出∠AHE的度数，此时，当B与E重合时，a的值最小，设DH=DA=x，则AH=CH=x，在Rt△AHG中，∠AHG=90°，根据勾股定理得：AG=AH=2x，再根据∠AEH=∠FEH，∠GHE=∠FEH，求出∠AEH=∠GHE，得出AB=AE=2x+x，从而求出a的最小值； (2)先过点H作HQ⊥AB于Q，则∠AQH=∠GOH=90°，根据矩形的性质得出∠D=∠DAQ=∠AQH=90°，得出四边形DAQH为矩形，设AD=x，GB=y，则HQ=x，EG=2y， 由折叠的性质可知∠AEH=∠FEH=60°，得出∠FEG=60°，在Rt△EFG中，根据特殊角的三角函数值求出EG和EQ的值，再由折叠的性质得出AE=EF，求出y的值，从而求出AB=2AQ+GB，即可得出a的值． 解答： 解：(1)①∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADH=90°， ∵DH=DA， ∴∠DAH=∠DHA=45°， ∴∠HAE=45°， ∵HA=HG， ∴∠HAE=∠HGA=45°； 故答案为：45°； 　 ②分两种情况讨论： 第一种情况： ∵∠HAG=∠HGA=45°； ∴∠AHG=90°， 由折叠可知：∠HAE=∠F=45°，∠AHE=∠FHE， ∵EF∥HG， ∴∠FHG=∠F=45°， ∴∠AHF=∠AHG﹣∠FHG=45°， 即∠AHE+∠FHE=45°， ∴∠AHE=22.5°， 此时，当B与G重合时，a的值最小，最小值是2； 第二种情况： ∵EF∥HG， ∴∠HGA=∠FEA=45°， 即∠AEH+∠FEH=45°， 由折叠可知：∠AEH=∠FEH， ∴∠AEH=∠FEH=22.5°， ∵EF∥HG， ∴∠GHE=∠FEH=22.5°， ∴∠AHE=90°+22.5°=112.5°， 此时，当B与E重合时，a的值最小， 设DH=DA=x，则AH=CH=x， 在Rt△AHG中，∠AHG=90°，由勾股定理得： AG=AH=2x， ∵∠AEH=∠FEH，∠GHE=∠FEH， ∴∠AEH=∠GHE， ∴GH=GE=x， ∴AB=AE=2x+x， ∴a的最小值是=2+； 　 (2)如图：过点H作HQ⊥AB于Q，则∠AQH=∠GOH=90°， 在矩形ABCD中，∠D=∠DAQ=90°， ∴∠D=∠DAQ=∠AQH=90°， ∴四边形DAQH为矩形， ∴AD=HQ， 设AD=x，GB=y，则HQ=x，EG=2y， 由折叠可知：∠AEH=∠FEH=60°， ∴∠FEG=60°， 在Rt△EFG中，EG=EF×cos60°，EF=4y， 在Rt△HQE中，EQ==x， ∴QG=QE+EG=x+2y， ∵HA=HG，HQ⊥AB， ∴AQ=GQ=x+2y， ∴AE=AQ+QE=x+2y， 由折叠可知：AE=EF， ∴x+2y=4y， ∴y=x， ∴AB=2AQ+GB=2(x+2y)+y=x， ∴a==． 点评： 此题考查了四边形的综合，用到的知识点是矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、特殊角的三角函数值等知识点，关键是根据题意做出辅助线，构造直角三角形．

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