R语言中统计分布和模拟

R语言统计分析：使用r-project.org的文档和包 #生活技巧# #工作学习技巧# #编程学习资源#

转载自：https://www.cnblogs.com/cloudtj/articles/5676624.html

前言

  很多应用都需要随机数。像interlink connection，密码系统、视频游戏、人工智能、优化、问题的初始条件，金融等都需要生成随机数。但实际上目前我们并没有“真正”的随机数生成器，尽管有一些伪随机数生成器也是非常有效的。

目录

 1. 概率统计分布概述

 2. 随机函数模拟介绍

 3. 密度函数模拟介绍

 4. 分布函数模拟介绍

 5. 分位数函数模拟介绍

 6. 函数模拟举例

1. 概率统计分布概述

  各种统计分布在R中的名称，这张表取自《An Introduction to R》中概率分布一章，基本涵盖了R中所有的概率函数。

  R给出了详尽的统计表。R 还提供了相关函数来 计算累计概率分布函数 X <= x)， 概率密度函数和分位数函数(给定 q，符合 P(X <= x) > q的最小x就是对应的分位数)， 和 基于概率分布的计算机模拟。

R中的各种概率统计分布 汉文名称英文名称R对应的名字附加参数β分布betabetashape1, shape2, ncp二项式分布binomialbinomsize, prob柯西分布Cauchycauchylocation, scale卡方分布chi-squaredchisqdf, ncp指数分布exponentialexprateF分布Ffdf1, df1, ncpGamma(γ)分布gammagammashape, scale几何分布geometricgeomprob超几何分布hypergeometrichyperm, n, k对数正态分布log-normallnormmeanlog, sdlogLogistic分布logisticlogislocation, scale负二项式分布negative binomialnbinomsize, prob正态分布normalnormmean, sd泊松分布PoissonpoislambdaWilcoxon分布signed ranksignranknt分布Student's ttdf, ncp均匀分布uniformunifmin, max韦伯分布Weibullweibullshape, scale秩和分布Wilcoxonwilcoxm, n

  概率函数介绍

  在R中各种概率函数都有统一的形式，即一套统一的 前缀+分布函数名：

   d 表示密度函数（density）；

   p 表示分布函数（生成相应分布的累积概率密度函数）；

   q 表示分位数函数，能够返回特定分布的分位数（quantile）；

   r 表示随机函数，生成特定分布的随机数（random）。

  每一种分布有四个函数：d―density（密度函数），p―分布函数，q―分位数函数，r―随机数函数。比如，正态分布的这四个函数为dnorm，pnorm，qnorm，rnorm。dnorm 表示正态分布密度函数；pnorm 表示正态分布累积概率密度函数；qnorm 表示正态分布分位数函数（即正态累积概率密度函数的逆函数）；rnorm 表示正态分布随机数。各分布后缀，前面加前缀d、p、q或r就构成函数名。

  不同的名字前缀表示不同的含义，d表示概率密度函数，p 表示 累积分布函数（cumulative distribution function，CDF），q 表 示分位函数以及 r 表示随机模拟(random deviates)或者随机数发生器。 dxxx 的第一个参数是x，pxxx是q， qxxx 是 p，和rxxx的是n(rhyper 和 rwilcox例外，二者的参数是 nn)。偏态指数（non-centrality parameter） ncp 现在仅用于累积分布函数，大多数概率密度函数 和部分其他情况：更细节的内容可以参考帮助文档。

  pxxx 和 qxxx 函数都有逻辑 参数 lower.tail 和 log.p。dxxx 也有一个逻辑函数 log。 它们可以用来计算所要的函数值。 例如可以通过下式计算累计(“积分的”) 风险 （hazard）函数。

- pxxx(t, ..., lower.tail = FALSE, log.p = TRUE)

  它们也可以直接用来计算更精确的对数似然值 (dxxx(..., log = TRUE))。

  此外还有函数 ptukey 和 qtukey 计算 来自正态分布的样本的标准化全距（studentized range） 的分布。

  这里是一些例子：

> ## t分布的双侧p值

> 2*pt(-2.43, df = 13)

> ## F(2, 7)分布的上1%分位数

> qf(0.99, 2, 7)

2. 随机函数模拟介绍

  各种分布的随机数生存函数

rnorm(n, mean=0, sd=1)

rexp(n, rate=1)

rgamma(n, shape, rate=1, scale=1/rate)

rpois(n, lambda)

rt(n, df, ncp)

rf(n, df1, df2, ncp)

rchisq(n, df, ncp=0)

rbinom(n, size, prob)

rweibull(n, shape, scale=1)

rbata(n, shape1, shape2)

  均匀分布随机数

  R语言生成均匀分布随机数的函数是runif()，句法是：runif(n,min=0,max=1)。 n表示生成的随机数数量，min表示均匀分布的下限，max表示均匀分布的上限；若省略参数min、max,则默认生成[0,1]上的均匀分布随机数。

> runif(5,0,1)

[1] 0.5993 0.7391 0.2617 0.5077 0.7199

> runif(5)

[1] 0.2784 0.7755 0.4107 0.8392 0.7455

> x=runif(100)

> hist(x,prob=T,col=gray(.9),main="uniform on [0,1]")

> curve(dunif(x,0,1),add=T)

  正态分布随机数

  正态分布随机数的生成函数是 rnorm() 。句法是：rnorm（n,mean=0,sd=1）。其中n表示生成的随机数数量，mean是正态分布的均值，默认为0，sd是正态分布的标准差，默认时为1。

> x=rnorm(100)

> hist(x,prob=T,main="normal mu=0,sigma=1")

> curve(dnorm(x),add=T)

  二项分布随机数

  二项分布是指n次独立重复贝努力试验成功的次数的分布，每次贝努力试验的结果只有两个，成功和失败，记成功的概率为p。生成二项分布随机数的函数是：rbinom() 。句法是：rbinom(n,size,prob)。n表示生成的随机数数量，size表示进行贝努力试验的次数，prob表示一次贝努力试验成功的概率。

# 例：产生100个n为10,15,50，概率p为0.25的二项分布随机数：

> par(mfrow=c(1,3))

> p=0.25

> for( n in c(10,20,50)) {

x=rbinom(100,n,p)

hist(x,prob=T,main=paste("n =",n))

xvals=0:n

points(xvals,dbinom(xvals,n,p),type="h",lwd=3)

}

> par(mfrow=c(1,1))

  指数分布随机数

  R生成指数分布随机数的函数是：rexp()。其句法是：rexp(n,lamda=1)。 n表示生成的随机数个数，lamda=1/mean 。

> x=rexp(100,1/10)

> hist(x,prob=T,col=gray(0.9),main="均值为10的指数分布随机数")

> curve(dexp(x,1/10),add=T)

> rexp(5, rate=1)

[1] 0.6626410 1.4266883 0.2150661 1.5788140 0.4469142

3. 密度函数模拟介绍

  以指数分布（R中函数名为exp）为例进行示范

  密度函数调用形式：

dexp（x，rate）

  参数解释：x随机变量，rate为指数概率密度函数的参数λ

> x <- seq(0, 4, 0.5)

> x

[1] 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0

> y <- dexp(x, rate=1)

> y

[1] 1.00000000 0.60653066 0.36787944 0.22313016 0.13533528

[6] 0.08208500 0.04978707 0.03019738 0.01831564

> plot(x,y)

> plot(x,y,type='l')

4. 分布函数模拟介绍

  分布函数调用形式：

pexp（x，rate, lower.tail =TRUE）

  参数解释：x随机变量，rate同上，参数lower.tail为一个逻辑值，TURE表示P（X ≤ x），也是默认值。

## 例：求取上图中x=2左侧的概率密度函数曲线下方面积

> pexp(2, rate=1)

[1] 0.8646647

5. 分位数函数模拟介绍

  分位数函数调用形式：

qexp（p，rate, lower.tail =True ）

  参数解释：p为概率值，其他同上

## 例：求取参数为1的指数分布函数的85%分位数

> qexp(0.85, rate=1)

[1] 1.89712

6. 函数模拟举例

  例如：指定模拟次数m=100，样本量n=10，概率=0.25，如果要改变这些参数来重新进行模拟将会很麻烦，下面将展示如何将上面的程序形成一个模拟函数再进行模拟。

> sim.clt <- function (m=100,n=10,p=0.25) {

z = rbinom(m,n,p)

x = (z-n*p)/sqrt(n*p*(1-p))

hist(x,prob=T,breaks=20,main=paste("n =",n,"p =",p))

curve(dnorm(x),add=T)

}

> sim.clt()

> sim.clt(1000)

> sim.clt(1000,30)

> sim.clt(1000,30,0.5)

  模拟函数的建立方法

  若每次模拟都要编写一个循环，非常麻烦。sim.fun()就是专门用来解决这类问题的。只需要编写一个用来生成随机数的函数，剩下的工作就交给sim.fun来完成。

sim.fun <-function (m,f,...) {

sample <-1:m

for (i in 1:m) {

sample[i] <-f(...)

}

sample

}

  正态概率模拟：

  能比直方图更好判定随机数是否近似服从正态分布的是正态概率图。基本思想：作实际数据的分位数与正态分布数据的分位数的散点图，也就是作样本分位数与理论分位数的散点图。

  二项分布模拟：

  先编写一个函数用来生成一个二项分布随机的标准化值。

> f <- function(n=10,p=0.5)

> xf <- sim.fun(1000,f) # 模拟1000个二项随机数

> hist(x,prob=T)

  均匀分布来模拟中心极限定理：

> f <- function(n=10)

> x <- sim.fun(1000,f) # 模拟1000个均匀随机数

> hist(x,prob=T)

  正态分布：

> f <- function(n=10,mu=0,sigma=1)

> x <- sim.fun(1000,f) # 模拟1000个样本量为10的N(0,1)随机数

> hist(x,breaks=10,prob=T)

> x <- sim.fun(1000,f,30,5,2) # 模拟1000个样本量为30的N(5,4)随机数

> hist(x,breaks=10,prob=T)

网址：R语言中统计分布和模拟 https://www.yuejiaxmz.com/news/view/452088

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