伊犁州直和兵团第四师、第七师高中学业水平 2024秋学期高三第一次质量监测试题试题(数学)

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题型07磁场4.(求双曲线方程、定值、存在性问题)2.(椭圆与直线存在性问题)生活中，椭圆有很多光学性质，如从椭圆的一个巴知双商线C子-b2=1(a>0,b>0)的右焦高焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线点为F(2,0),0为坐标原点，点A,B分别在C经过另一个焦点.现椭圆C的焦点在y轴上，中心在坐标原点，从下焦点F,射出的光线经过椭的两条渐近线上，点F在线段AB上，且OA圆镜面反射到上焦点F2,这束光线的总长度为AB,1OA+IOB=√3ABL.究函4,且反射点与焦点构成的三角形面积最大值为(1)求双曲线C的方程；(2)过点F作直线1交C于P,Q两点，问；在x轴解法3,已知椭圆的离心率e<2上是否存在定点M,使MP2+MQ?的证值(1)求椭圆C的标准方程；PQ2为定值？若存在，求出定点M的坐标(2)若从椭圆C中心O出发的两束光线OM、及这个定值；若不存在，说明理由，ON,分别穿过椭圆上的A、B点后射到直线y=4上的M、N两点，若AB连线过椭圆的(202上焦点F,试问，直线BM与直线AN能交于一定点吗？若能，求出此定点；若不能，请已说明理由、(1》(2〉作可线3.(椭圆与圆存在性问题)已知椭圆E的左、右焦点分别是F1(一√3,0)、F:5,0.且经过点M2,号）(1)求椭圆E的标准方程：(2)设AC,BD是过椭圆E的中心且相互垂直的椭圆E的两条弦，问是否存在定圆G,使得G为四边形ABCD的内切圆？若存在，求圆G的方程；若不存在，请说明理由.72数学》生命的意义在于设身处地体人着想，忧他人之忧，乐他人之乐

分析令t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），则-$\sqrt{2}$≤t≤$\sqrt{2}$，sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，所以f（x）=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$+t=$\frac{1}{2}$（t+1）2-1，从而求函数的值域．

解答解：令t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），
则-$\sqrt{2}$≤t≤$\sqrt{2}$，t2=1+2sinxcosx，
∴sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，
∴f（x）=sinxcosx+sinx+cosx
=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$+t=$\frac{1}{2}$（t+1）2-1，
∵-$\sqrt{2}$≤t≤$\sqrt{2}$，
∴-1≤（t+1）2-1≤$\frac{1}{2}$+$\sqrt{2}$；
即函数f（x）=sinxcosx+sinx+cosx的值域为[-1，$\frac{1}{2}$+$\sqrt{2}$]．
故答案为[-1，$\frac{1}{2}$+$\sqrt{2}$]．

点评本题考查了换元法与配方法求函数的值域，属于基础题．

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