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生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题。导数在实际生活中的优化问题主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面： 1、与几何有关的最值问题； 2、与物理学有关的最值问题； 3、与经济中利润及其成本有关的最值问题； 4、效率最值问题。如： 例1．海报版面尺寸的设计 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm。如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？ 解：设版心的高为xdm，则版心的宽为dm,此时四周空白面积为 求导数，得： . 令 ，解得 舍去）. 于是宽为 . 当 时， 0；当 时， 0. 因此， 是函数 的极小值，也是最小值点.所以，当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最小. 答：当版心高为16dm，宽为8dm时，海报四周空白面积最小。 例2．饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 （1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？ （2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？ 解：由于瓶子的半径为 ，所以每瓶饮料的利润是 令 解得 （ 舍去） 当 时， ；当 时， ． 当半径 时， 它表示 单调递增，即半径越大，利润越高； 当半径 时， 它表示 单调递减，即半径越大，利润越低． （1）半径为 cm 时，利润最小，这时 ，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值． （2）半径为 cm时，利润最大． 例3．磁盘的最大存储量问题 问题：现有一张半径为 的磁盘，它的存储区是半径介于 与 之间的环形区域． （1）?????? 越小，磁盘的存储量越大？ （2）?????? 解：由题意知：存储量=磁道数×每磁道的比特数。 设存储区的半径介于 与R之间，由于磁道之间的宽度必需大于 ，且最外面的磁道不存储任何信息，故磁道数最多可达 。由于每条磁道上的比特数相同，为获得最大存储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达 。所以，磁盘总存储量 × （1）它是一个关于 的二次函数,从函数解析式上可以判断,不是 越小,磁盘的存储量越大． （2）为求 的最大值，计算 ． 令 ，解得 当 时， ；当 时， ． 因此 时，磁盘具有最大存储量。此时最大存储量为 例4．汽油的使用效率何时最高 我们知道，汽油的消耗量 （单位：L）与汽车的速度 （单位：km/h）之间有一定的关系，汽油的消耗量 是汽车速度 的函数．根据你的生活经验，思考下面两个问题： （1）是不是汽车的速度越快，汽车的消耗量越大？（2）“汽油的使用率最高”的含义是什么？ 解：因为 这样，问题就转化为求 的最小值．从图象上看， 表示经过原点与曲线上点的直线的斜率．进一步发现，当直线与曲线相切时，其斜率最小．在此切点处速度约为90 ． 因此，当汽车行驶距离一定时，要使汽油的使用效率最高，即每千米的汽油消耗量最小，此时的车速约为90 ．从数值上看，每千米的耗油量就是图中切线的斜率，即 ，约为 L． 例5．在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？ 解法一：设箱底边长为xcm，则箱高 cm，得箱子容积 ． 令 ＝0，解得 x=0（舍去），x=40， 并求得V(40)=16 000 由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值 答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm3 例6．圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？ 解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积 S=2πRh+2πR2 由V=πR2h，得 ，则 S(R)= 2πR + 2πR2= +2πR2 令+4πR=0 解得，R= ，从而h= = = =2 即h=2R 因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值 答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省 从以上例子可看出利用导数解决优化问题的基本思路： 在这个过程中，我们可以看出导数在解决生活实际优化问题往往是一个有利的工具。 解决数学模型 作答 用函数表示的数学问题 优化问题 用导数解决数学问题 优化问题的答案

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